Vamos analisar cada item com base no conjunto \[ W = \{(a, b, c, d) \in \mathbb{R}^4 \mid c = 3a + b, \quad d = 2a + 2b \} \] --- I. O vetor \( x = (1, 2, 7, 6) \) pertence a \( W \)? - Verificar se \( c = 3a + b \): \( 7 \stackrel{?}{=} 3 \times 1 + 2 = 3 + 2 = 5 \) → Não bate. - Logo, \( x \notin W \). Item I é falso. --- II. O conjunto \(\{(1, 0, 3, 1), (0, 1, 2, 2)\}\) é uma base para \( W \)? - Verificar se os vetores pertencem a \( W \): Para \( (1, 0, 3, 1) \): \( c = 3a + b = 3 \times 1 + 0 = 3 \) → bate com \( c=3 \) \( d = 2a + 2b = 2 \times 1 + 0 = 2 \) → mas o vetor tem \( d=1 \), não bate. Logo, não pertence a \( W \). Para \( (0, 1, 2, 2) \): \( c = 3 \times 0 + 1 = 1 \), mas o vetor tem \( c=2 \), não bate. Logo, não pertence a \( W \). Portanto, o conjunto não é base de \( W \). Item II é falso. --- III. O elemento neutro da adição \( 0 = (0,0,0,0) \) pertence a \( W \)? - Verificar se \( c = 3a + b \): \( 0 = 3 \times 0 + 0 = 0 \) → bate. - Verificar se \( d = 2a + 2b \): \( 0 = 2 \times 0 + 2 \times 0 = 0 \) → bate. Logo, \( 0 \in W \). Item III é verdadeiro. --- IV. Dimensão de \( W \): - \( W \) é definido por duas equações lineares independentes em \(\mathbb{R}^4\), então a dimensão é \(4 - 2 = 2\). Item IV é verdadeiro. --- Conclusão: Apenas os itens III e IV são verdadeiros. Resposta correta: "III e IV, apenas."