Determine a massa de um fio com a forma da curva y = ln x com √3 ≤ x ≤ √8, se a densidade em cada ponto é igual ao quadrado da abscissa do ponto.

Vamos resolver passo a passo. Dados: - Curva: \( y = \ln x \), com \( \sqrt{3} \leq x \leq \sqrt{8} \) - Densidade em cada ponto: \( \rho(x) = x^2 \) (quadrado da abscissa) - Queremos a massa do fio ao longo da curva. --- Passo 1: Comprimento do arco diferencial O comprimento diferencial do arco é dado por: \[ ds = \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2} dx \] Calculando \( \frac{dy}{dx} \): \[ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{x} \] Então: \[ ds = \sqrt{1 + \left(\frac{1}{x}\right)^2} dx = \sqrt{1 + \frac{1}{x^2}} dx = \sqrt{\frac{x^2 + 1}{x^2}} dx = \frac{\sqrt{x^2 + 1}}{x} dx \] --- Passo 2: Massa do fio A massa é a integral da densidade vezes o comprimento diferencial: \[ m = \int_{\sqrt{3}}^{\sqrt{8}} \rho(x) ds = \int_{\sqrt{3}}^{\sqrt{8}} x^2 \cdot \frac{\sqrt{x^2 + 1}}{x} dx = \int_{\sqrt{3}}^{\sqrt{8}} x \sqrt{x^2 + 1} dx \] --- Passo 3: Calcular a integral \[ I = \int x \sqrt{x^2 + 1} dx \] Use substituição: \[ u = x^2 + 1 \implies du = 2x dx \implies x dx = \frac{du}{2} \] Então: \[ I = \int x \sqrt{x^2 + 1} dx = \int \sqrt{u} \cdot \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \int u^{1/2} du = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{3/2} + C = \frac{1}{3} (x^2 + 1)^{3/2} + C \] --- Passo 4: Avaliar a integral definida \[ m = \left[ \frac{1}{3} (x^2 + 1)^{3/2} \right]_{\sqrt{3}}^{\sqrt{8}} = \frac{1}{3} \left( (8 + 1)^{3/2} - (3 + 1)^{3/2} \right) = \frac{1}{3} \left( 9^{3/2} - 4^{3/2} \right) \] Calculando: \[ 9^{3/2} = (9^{1/2})^3 = 3^3 = 27 \] \[ 4^{3/2} = (4^{1/2})^3 = 2^3 = 8 \] Logo: \[ m = \frac{1}{3} (27 - 8) = \frac{19}{3} \] --- Resposta final: \[ \boxed{m = \frac{19}{3}} \] A massa do fio é \( \frac{19}{3} \) unidades de massa.