Calcule a massa de um arame fino com o formato da hélice parametrizada por α : [0, π/2] → R³, α(t) = (3 cos t, 3 sin t, 4t), se a densidade é dada por δ(x, y, z) = kx/(1 + y²), com k 0.

Question

Calcule a massa de um arame fino com o formato da hélice parametrizada por α : [0, π/2] → R³, α(t) = (3 cos t, 3 sin t, 4t), se a densidade é dada ...

Ed · Answer

Vamos calcular a massa do arame passo a passo.

**Dados:**
- Curva parametrizada: $\alpha(t) = (3 \cos t, 3 \sin t, 4t)$, $t \in [0, \pi/2]$
- Densidade: $\delta(x,y,z) = \frac{kx}{1 + y^2}$, com $k > 0$

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### Passo 1: Expressar a densidade em função de $t$

Substituindo $x = 3 \cos t$ e $y = 3 \sin t$:

$$
\delta(t) = \frac{k \cdot 3 \cos t}{1 + (3 \sin t)^2} = \frac{3k \cos t}{1 + 9 \sin^2 t}
$$

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### Passo 2: Calcular o vetor derivada $\alpha'(t)$

$$
\alpha'(t) = (-3 \sin t, 3 \cos t, 4)
$$

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### Passo 3: Calcular o módulo $|\alpha'(t)|$

$$
|\alpha'(t)| = \sqrt{(-3 \sin t)^2 + (3 \cos t)^2 + 4^2} = \sqrt{9 \sin^2 t + 9 \cos^2 t + 16} = \sqrt{9(\sin^2 t + \cos^2 t) + 16} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5
$$

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### Passo 4: Montar a integral da massa

A massa $m$ é dada por:

$$
m = \int_0^{\pi/2} \delta(t) |\alpha'(t)| dt = \int_0^{\pi/2} \frac{3k \cos t}{1 + 9 \sin^2 t} \cdot 5 \, dt = 15k \int_0^{\pi/2} \frac{\cos t}{1 + 9 \sin^2 t} dt
$$

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### Passo 5: Resolver a integral

Fazer a substituição $u = \sin t \Rightarrow du = \cos t \, dt$, quando $t=0 \Rightarrow u=0$, e $t = \pi/2 \Rightarrow u=1$:

$$
\int_0^{\pi/2} \frac{\cos t}{1 + 9 \sin^2 t} dt = \int_0^1 \frac{1}{1 + 9 u^2} du
$$

Essa integral é padrão:

$$
\int \frac{1}{1 + a^2 u^2} du = \frac{1}{a} \arctan(a u) + C
$$

Com $a = 3$, temos:

$$
\int_0^1 \frac{1}{1 + 9 u^2} du = \frac{1}{3} [\arctan(3u)]_0^1 = \frac{1}{3} (\arctan 3 - 0) = \frac{\arctan 3}{3}
$$

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### Passo 6: Calcular a massa final

$$
m = 15k \cdot \frac{\arctan 3}{3} = 5k \arctan 3
$$

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### **Resposta final:**

$$
\boxed{m = 5k \arctan 3}
$$

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Cálculo

Lista 4 2014-2

Respostas

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Lista 4 2014-2

Calcule ∫_C (xy + y + z) ds ao longo da curva →r(t) = 2t →i + t →j + (2 − 2t) →k, com 0 ≤ t ≤ 1.

Calcule ∫_C (x + y) ds, onde C é o triângulo de vértices (0, 0), (1, 1) e (−1, 1).

Calcule ∫_C √3xyz ds onde C é a curva de intersecção da esfera x² + y² + z² = 16 com o cilindro x² + y² = 4 que se encontra no primeiro octante.

Determine a massa de um fio com a forma da curva y = ln x com √3 ≤ x ≤ √8, se a densidade em cada ponto é igual ao quadrado da abscissa do ponto.

Seja C um fio delgado com a forma da intersecção da superfície x² + y² + z² = 5, z ≥ 0 com o plano x + y = 1. Calcule o momento de inércia de C em relação ao eixo Z, se a densidade em cada ponto é proporcional à sua distância ao plano XY.

Calcule ∫_C z dx + y dy − z² dz, onde C é o segmento de reta do ponto P = (1, 0, 0) ao ponto Q = (0, 1, 1/2).

Calcule ∫_C −2xy dx + (x² + y²) dy onde C é a parte da elipse x² + 4y² = 2x correspondente a y ≥ 0 orientada no sentido anti-horário.

Calcule ∫_C x dx + x² dy onde C é a curva dada por →r(t) = (−cos t, sin t), com 0 ≤ t ≤ π.

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