Vamos analisar cada item passo a passo. --- A) - \( g(x) = \sqrt{x - 4} \) - \( f(x) = \frac{3x - 1}{x - 3} \) - Queremos o maior conjunto \( A \) tal que \( \text{Im}(f) \subset D(g) \). Passo 1: Domínio de \( g \): - \( D(g) = \{ x \in \mathbb{R} \mid x - 4 \geq 0 \} \Rightarrow x \geq 4 \). Passo 2: Imagem de \( f \): - \( f(x) = \frac{3x - 1}{x - 3} \), com \( x \neq 3 \) (para evitar divisão por zero). - Queremos que \( f(x) \geq 4 \) para que \( f(x) \in D(g) \). Passo 3: Resolver \( f(x) \geq 4 \): \[ \frac{3x - 1}{x - 3} \geq 4 \] Multiplicando ambos os lados por \( x - 3 \), lembrando que o sinal da desigualdade depende do sinal de \( x - 3 \): - Caso 1: \( x - 3 > 0 \Rightarrow x > 3 \) \[ 3x - 1 \geq 4(x - 3) \Rightarrow 3x - 1 \geq 4x - 12 \Rightarrow -1 + 12 \geq 4x - 3x \Rightarrow 11 \geq x \Rightarrow x \leq 11 \] Combinando com \( x > 3 \), temos \( 3 < x \leq 11 \). - Caso 2: \( x - 3 < 0 \Rightarrow x < 3 \) \[ 3x - 1 \leq 4(x - 3) \Rightarrow 3x - 1 \leq 4x - 12 \Rightarrow -1 + 12 \leq 4x - 3x \Rightarrow 11 \leq x \] Mas \( x < 3 \) e \( x \geq 11 \) não se cruzam, então não há solução aqui. Passo 4: Domínio de \( f \): - \( x \neq 3 \). Conclusão para A: - \( A = (3, 11] \). Composição: \[ h(x) = g(f(x)) = \sqrt{f(x) - 4} = \sqrt{\frac{3x - 1}{x - 3} - 4} = \sqrt{\frac{3x - 1 - 4(x - 3)}{x - 3}} = \sqrt{\frac{3x - 1 - 4x + 12}{x - 3}} = \sqrt{\frac{-x + 11}{x - 3}} \] com \( x \in (3, 11] \). --- B) - \( g(x) = \frac{1}{x} \) - \( f(x) = x^2 - 2 \) - Queremos o maior conjunto \( A \) tal que \( \text{Im}(f) \subset D(g) \). Passo 1: Domínio de \( g \): - \( D(g) = \{ x \in \mathbb{R} \mid x \neq 0 \} \). Passo 2: Imagem de \( f \): - \( f(x) = x^2 - 2 \), imagem é \( [-2, +\infty) \). Passo 3: Para \( \text{Im}(f) \subset D(g) \), \( f(x) \neq 0 \), ou seja: \[ x^2 - 2 \neq 0 \Rightarrow x^2 \neq 2 \Rightarrow x \neq \pm \sqrt{2} \] Passo 4: Domínio de \( f \): - \( A = \mathbb{R} \setminus \{ -\sqrt{2}, \sqrt{2} \} \). Composição: \[ h(x) = g(f(x)) = \frac{1}{x^2 - 2} \] com \( x \in \mathbb{R} \setminus \{ -\sqrt{2}, \sqrt{2} \} \). --- Resumo: - Para A: - \( A = (3, 11] \) - \( h(x) = \sqrt{\frac{-x + 11}{x - 3}} \) - Para B: - \( A = \mathbb{R} \setminus \{ -\sqrt{2}, \sqrt{2} \} \) - \( h(x) = \frac{1}{x^2 - 2} \) Se a questão pede para escolher uma alternativa correta, você deve verificar qual está completa e correta conforme o enunciado. Ambas as composições estão corretas para seus respectivos domínios. --- Se precisar da alternativa correta entre as opções dadas, por favor, envie as alternativas completas para que eu possa ajudar a escolher a correta.