Vamos resolver passo a passo a função \( f(x) = -4 + 7k(x - 2) \): i) Determinar \( k \) sabendo que \( f(5) = 45 \): Substituindo \( x = 5 \) e \( f(5) = 45 \): \[ 45 = -4 + 7k(5 - 2) \] \[ 45 = -4 + 7k \times 3 \] \[ 45 + 4 = 21k \] \[ 49 = 21k \] \[ k = \frac{49}{21} = \frac{7}{3} \] --- ii) Esboço do gráfico de \( f \): Com \( k = \frac{7}{3} \), a função fica: \[ f(x) = -4 + 7 \times \frac{7}{3} (x - 2) = -4 + \frac{49}{3}(x - 2) \] É uma função afim (reta) com coeficiente angular \( \frac{49}{3} \) e intercepto em \( x=2 \) no ponto: \[ f(2) = -4 + \frac{49}{3} \times 0 = -4 \] O gráfico é uma reta inclinada positivamente, passando pelo ponto (2, -4). --- iii) Determinar a imagem de \( f \): Como \( f \) é uma função linear com coeficiente angular diferente de zero, sua imagem é todo o conjunto dos números reais: \[ \text{Im}(f) = \mathbb{R} \] --- iv) Determinar a inversa de \( f \), explicitando o domínio: A função \( f \) é bijetora em \( \mathbb{R} \), então a inversa existe. Começando com: \[ y = -4 + \frac{49}{3}(x - 2) \] Isolando \( x \): \[ y + 4 = \frac{49}{3}(x - 2) \] \[ x - 2 = \frac{3}{49}(y + 4) \] \[ x = 2 + \frac{3}{49}(y + 4) \] Assim, a inversa \( f^{-1}(y) \) é: \[ f^{-1}(y) = 2 + \frac{3}{49}(y + 4) \] Domínio de \( f \): \( \mathbb{R} \) Imagem de \( f \): \( \mathbb{R} \) Portanto, domínio de \( f^{-1} \) é \( \mathbb{R} \) e imagem de \( f^{-1} \) também \( \mathbb{R} \). --- Se precisar de mais ajuda, é só avisar!