Vamos resolver cada desigualdade passo a passo: r) \(\frac{2x - 1}{x - 3} > 5\) 1. Subtraia 5 dos dois lados para ter tudo em um lado: \[ \frac{2x - 1}{x - 3} - 5 > 0 \] 2. Coloque em uma única fração: \[ \frac{2x - 1 - 5(x - 3)}{x - 3} > 0 \] 3. Simplifique o numerador: \[ 2x - 1 - 5x + 15 = -3x + 14 \] 4. A desigualdade fica: \[ \frac{-3x + 14}{x - 3} > 0 \] 5. Identifique os pontos críticos (onde o numerador ou denominador são zero): - Numerador zero: \(-3x + 14 = 0 \Rightarrow x = \frac{14}{3} \approx 4,67\) - Denominador zero: \(x = 3\) 6. Divida a reta real em intervalos usando esses pontos: \((-\infty, 3)\), \((3, \frac{14}{3})\), \((\frac{14}{3}, +\infty)\) 7. Teste um valor em cada intervalo para o sinal da fração: - Para \(x=0\) (em \((-\infty, 3)\)): \[ \frac{-3(0) + 14}{0 - 3} = \frac{14}{-3} < 0 \] Não satisfaz. - Para \(x=4\) (em \((3, \frac{14}{3})\)): \[ \frac{-3(4) + 14}{4 - 3} = \frac{-12 + 14}{1} = 2 > 0 \] Satisfaz. - Para \(x=5\) (em \((\frac{14}{3}, +\infty)\)): \[ \frac{-3(5) + 14}{5 - 3} = \frac{-15 + 14}{2} = \frac{-1}{2} < 0 \] Não satisfaz. 8. Como \(x=3\) não pode ser incluído (denominador zero), e \(x=\frac{14}{3}\) anula o numerador (fração zero, não maior que zero), a solução é: \[ (3, \frac{14}{3}) \] --- s) \(x(2x - 1)(x + 1) > 0\) 1. Identifique os zeros do produto: - \(x = 0\) - \(2x - 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2}\) - \(x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1\) 2. Divida a reta real em intervalos: \[ (-\infty, -1), (-1, 0), (0, \frac{1}{2}), (\frac{1}{2}, +\infty) \] 3. Teste um valor em cada intervalo para o sinal do produto: - \(x = -2\): \[ (-2)(2(-2) - 1)(-2 + 1) = (-2)(-5)(-1) = (-2)(-5)(-1) = -10 < 0 \] Não satisfaz. - \(x = -0,5\): \[ (-0,5)(2(-0,5) - 1)(-0,5 + 1) = (-0,5)(-2)(0,5) = (-0,5)(-1) = 0,5 > 0 \] Satisfaz. - \(x = 0,25\): \[ (0,25)(2(0,25) - 1)(0,25 + 1) = (0,25)(-0,5)(1,25) = (0,25)(-0,625) = -0,15625 < 0 \] Não satisfaz. - \(x = 1\): \[ (1)(2(1) - 1)(1 + 1) = (1)(1)(2) = 2 > 0 \] Satisfaz. 4. Como a desigualdade é estrita (>0), não inclui os zeros. Portanto, a solução é: \[ (-1, 0) \cup \left(\frac{1}{2}, +\infty\right) \] --- t) \(|x - 1| - |x + 2| > x\) Vamos analisar por intervalos baseados nos pontos onde os módulos mudam: \(x = -2\) e \(x = 1\). 1. Para \(x < -2\): \[ |x - 1| = -(x - 1) = 1 - x \] \[ |x + 2| = -(x + 2) = -x - 2 \] Desigualdade: \[ (1 - x) - (-x - 2) > x \Rightarrow 1 - x + x + 2 > x \Rightarrow 3 > x \] Para \(x < -2\), \(3 > x\) é sempre verdadeiro. Então, para \(x < -2\), a desigualdade vale. 2. Para \(-2 \leq x < 1\): \[ |x - 1| = 1 - x \] \[ |x + 2| = x + 2 \] Desigualdade: \[ (1 - x) - (x + 2) > x \Rightarrow 1 - x - x - 2 > x \Rightarrow -1 - 2x > x \Rightarrow -1 > 3x \Rightarrow x < -\frac{1}{3} \] No intervalo \(-2 \leq x < 1\), a solução é: \[ -2 \leq x < -\frac{1}{3} \] 3. Para \(x \geq 1\): \[ |x - 1| = x - 1 \] \[ |x + 2| = x + 2 \] Desigualdade: \[ (x - 1) - (x + 2) > x \Rightarrow x - 1 - x - 2 > x \Rightarrow -3 > x \] Para \(x \geq 1\), \(-3 > x\) é falso. Então, não há solução aqui. --- Resposta final: - r) \(\boxed{(3, \frac{14}{3})}\) - s) \(\boxed{(-1, 0) \cup \left(\frac{1}{2}, +\infty\right)}\) - t) \(\boxed{(-\infty, -2) \cup \left[-2, -\frac{1}{3}\right)}\)