Para que a função \( f \) seja contínua para todo \( x \in \mathbb{R} \), ela deve ser contínua nos pontos onde a definição muda, ou seja, em \( x = -1 \) e \( x = 1 \). --- Passo 1: Continuidade em \( x = -1 \) - Limite pela esquerda (\( x \to -1^- \)): \[ f(x) = \frac{x^2 + a x + 1}{x^2 - 1} = \frac{x^2 + a x + 1}{(x - 1)(x + 1)} \] Em \( x = -1 \), o denominador é zero, então precisamos que o numerador também seja zero para que o limite exista (remover a descontinuidade). Calcule o numerador em \( x = -1 \): \[ (-1)^2 + a(-1) + 1 = 1 - a + 1 = 2 - a \] Para que o limite exista, \( 2 - a = 0 \Rightarrow a = 2 \). Agora, simplifique a função para \( a = 2 \): \[ \frac{x^2 + 2x + 1}{x^2 - 1} = \frac{(x + 1)^2}{(x - 1)(x + 1)} = \frac{x + 1}{x - 1}, \quad x \neq -1 \] Limite pela esquerda em \( x = -1 \): \[ \lim_{x \to -1^-} f(x) = \lim_{x \to -1^-} \frac{x + 1}{x - 1} = \frac{0}{-2} = 0 \] - Limite pela direita (\( x \to -1^+ \)): \[ f(x) = b - x \] \[ \lim_{x \to -1^+} f(x) = b - (-1) = b + 1 \] Para continuidade em \( x = -1 \): \[ \lim_{x \to -1^-} f(x) = \lim_{x \to -1^+} f(x) \Rightarrow 0 = b + 1 \Rightarrow b = -1 \] --- Passo 2: Continuidade em \( x = 1 \) - Limite pela esquerda (\( x \to 1^- \)): \[ f(x) = b - x = -1 - x \] \[ \lim_{x \to 1^-} f(x) = -1 - 1 = -2 \] - Limite pela direita (\( x \to 1^+ \)): \[ f(x) = \frac{c x + d}{x + 1} \] \[ \lim_{x \to 1^+} f(x) = \frac{c \cdot 1 + d}{1 + 1} = \frac{c + d}{2} \] Para continuidade em \( x = 1 \): \[ \lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) \Rightarrow -2 = \frac{c + d}{2} \Rightarrow c + d = -4 \] --- Passo 3: Verificar continuidade em \( x = 1 \) para a função \( f \) ser contínua no ponto \( x = 1 \) Além do limite, a função deve estar definida em \( x = 1 \) pela terceira expressão, o que já está garantido. --- Resumo: - \( a = 2 \) - \( b = -1 \) - \( c + d = -4 \) (uma equação com duas incógnitas, então \( c \) e \( d \) podem variar desde que a soma seja \(-4\)) --- Resposta final: \[ \boxed{ a = 2, \quad b = -1, \quad c + d = -4 } \] Ou seja, \( c \) e \( d \) podem ser quaisquer números reais que satisfaçam \( c + d = -4 \).