Vamos analisar a equação dada: 3x³ - 2x² + 6x - 21x + 26 = 0 Mas parece que a equação está confusa na escrita. Provavelmente a equação correta é: 3x³ - 2x² + 6x - 21x + 26 = 0 Note que 6x - 21x = -15x, então a equação fica: 3x³ - 2x² - 15x + 26 = 0 Agora, as raízes são m, n e p, com m e n complexas e p racional. Queremos encontrar o valor de m² + n². Passo 1: Usar as relações de Viète para a equação 3x³ - 2x² - 15x + 26 = 0. Para uma equação ax³ + bx² + cx + d = 0, as raízes m, n, p satisfazem: m + n + p = -b/a mn + mp + np = c/a mnp = -d/a No nosso caso: a = 3 b = -2 c = -15 d = 26 Logo: m + n + p = -(-2)/3 = 2/3 mn + mp + np = -15/3 = -5 mnp = -26/3 Passo 2: Como m e n são complexas e conjugadas (pois coeficientes são reais), e p é racional, podemos usar isso. Se m e n são conjugadas, então: m + n = S (real) mn = P (real) E p é real. Sabemos que: m + n + p = 2/3 => S + p = 2/3 mn + p(m + n) = -5 => P + pS = -5 mnp = -26/3 Passo 3: Queremos m² + n². Sabemos que: m² + n² = (m + n)² - 2mn = S² - 2P Então, precisamos encontrar S e P. Passo 4: Usar as equações para encontrar S e P em função de p. Da primeira: S = 2/3 - p Da segunda: P + pS = -5 => P = -5 - pS = -5 - p(2/3 - p) = -5 - (2p/3) + p² Passo 5: Usar o produto das raízes: mnp = P * p = -26/3 Logo: P * p = -26/3 Substituindo P: p * [-5 - (2p/3) + p²] = -26/3 Multiplicando: -5p - (2p²)/3 + p³ = -26/3 Multiplicando ambos os lados por 3 para eliminar denominadores: -15p - 2p² + 3p³ = -26 Reorganizando: 3p³ - 2p² - 15p + 26 = 0 Note que essa é a mesma equação original! Isso significa que p é raiz da equação original. Passo 6: Encontrar p racional que seja raiz da equação 3p³ - 2p² - 15p + 26 = 0. Testar possíveis raízes racionais pelo Teorema do Racional: Divisores de 26: ±1, ±2, ±13, ±26 Divididos por divisores de 3: 1, 3 Possíveis raízes: ±1, ±2, ±13, ±26, ±1/3, ±2/3, ±13/3, ±26/3 Testar p=1: 3(1) - 2(1) - 15(1) + 26 = 3 - 2 - 15 + 26 = 12 ≠ 0 p=2: 3(8) - 2(4) - 15(2) + 26 = 24 - 8 - 30 + 26 = 12 ≠ 0 p=-1: 3(-1) - 2(1) - 15(-1) + 26 = -3 - 2 + 15 + 26 = 36 ≠ 0 p=-2: 3(-8) - 2(4) - 15(-2) + 26 = -24 - 8 + 30 + 26 = 24 ≠ 0 p=13: 3(2197) - 2(169) - 15(13) + 26 = muito grande, provavelmente não zero. p=1/3: 3*(1/27) - 2*(1/9) - 15*(1/3) + 26 = (1/9) - (2/9) - 5 + 26 = (-1/9) + 21 = 20.888... ≠ 0 p=2/3: 3*(8/27) - 2*(4/9) - 15*(2/3) + 26 = (8/9) - (8/9) - 10 + 26 = 0 - 10 + 26 = 16 ≠ 0 p=-1/3: 3*(-1/27) - 2*(1/9) - 15*(-1/3) + 26 = (-1/9) - (2/9) + 5 + 26 = (-3/9) + 31 = 30.666... ≠ 0 p=-2/3: 3*(-8/27) - 2*(4/9) - 15*(-2/3) + 26 = (-8/9) - (8/9) + 10 + 26 = (-16/9) + 36 = 34.22 ≠ 0 p=13/3: 3*(2197/27) - 2*(169/9) - 15*(13/3) + 26 = (2197/9) - (338/9) - 65 + 26 = (1859/9) - 39 = 206.55 - 39 = 167.55 ≠ 0 p=-13/3: 3*(-2197/27) - 2*(169/9) - 15*(-13/3) + 26 = (-2197/9) - (338/9) + 65 + 26 = (-2535/9) + 91 = -281.66 + 91 = -190.66 ≠ 0 p=26/3: 3*(17576/27) - 2*(676/9) - 15*(26/3) + 26 = (17576/9) - (1352/9) - 130 + 26 = (16224/9) - 104 = 1802.66 - 104 = 1698.66 ≠ 0 p=-26/3: 3*(-17576/27) - 2*(676/9) - 15*(-26/3) + 26 = (-17576/9) - (1352/9) + 130 + 26 = (-18928/9) + 156 = -2103.11 + 156 = -1947.11 ≠ 0 Nenhuma raiz racional encontrada. Isso indica que a equação original pode estar escrita incorretamente. Você tem que criar uma nova questão.