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Leandro Neckel , divulga seu site em outro lugar fdp

Neste exercício, serão utilizados os conhecimentos sobre movimento retilíneo para analisar o instante e a posição do carro ao ultrapassar o caminhão. Para isso, serão utilizadas as equações de posição e velocidade apresentadas a seguir:

\(\Longrightarrow s(t)=s_0+v_0t+{a \over 2}t^2\)    \((I)\)

\(\Longrightarrow v(t)=v_0+at\)                \((II)\)

(a)

No primeiro caso, o carro partiu imediatamente após a passagem do caminhão. Vamos supor que, em \(t_0=0 \space \mathrm s\), o carro parte da posição de referência \(s=0 \space \mathrm m\).

Primeiro, vamos analisar o caminhão. A velocidade inicial \(v_{0,cm}\) e a posição inicial \(s_{0,cm}\) do caminhão são:

\(\Longrightarrow v_{0,cm}=54 \space \mathrm {km/h}=54 \space \mathrm {\cdot 10^3m/3.600 \space \mathrm s}\)     \(\rightarrow v_{0,cm}=15 \space \mathrm {m/s}\)

\(\Longrightarrow s_{0,cm}= s + v_{0,cm}t_0 =0+15 \cdot 0\)              \(\to s_{0,cm}= 0 \space \mathrm {m}\)

Como o caminhão possui velocidade constante por todo o trajeto, sua aceleração é \(a_{cm}=0 \space \mathrm {m/s^2}\). Portanto, utilizando a equação \((I)\), a função da posição do caminhão para \( t \ge 0 \space \mathrm s\) é:

\(\Longrightarrow s_{cm}(t)=s_{0,cm}+v_{0,cm}t+{a_{cm} \over 2}t^2\)

\(\Longrightarrow s_{cm}(t)=0+15t+{0 \over 2}t^2\)

\(\Longrightarrow s_{cm}(t)=15t, \space \space t \ge 0 \space \mathrm s\)      \((III)\)

Agora, vamos analisar o carro. Como o carro parte do repouso em \(t_0=0 \space \mathrm s\), sua velocidade inicial e posição inicial são, respectivamente, \(v_{0,cr}= 0 \space \mathrm {m/s}\) e \(s_{0,cr}= 0 \space \mathrm m\).

Em \(t=1 \space \mathrm s\), a velocidade do carro é \(v_{cr}(1 \space \mathrm s)= 81 \space \mathrm {km/h} = 22,5 \space \mathrm {m/s}\). Portanto, utilizando a equação \((II)\) de velocidade do carro, o valor da aceleração \(a_{cr}\) do carro é:

\(\Longrightarrow v_{cr}(t)=v_{0,cr}+a_{cr} t\)

\(\Longrightarrow 22,5=0+a_{cr} \cdot 1\)

\(\Longrightarrow a_{cr} = 22,5 \space \mathrm {m/s^2}\)

Portanto, utilizando a equação \((I)\), a função da posição do carro em \(0 \le t \le 1 \space \mathrm s\) é:

\(\Longrightarrow s_{cr}(t)=s_{0,cr}+v_{0,cr}t+{a_{cr} \over 2}t^2\)

\(\Longrightarrow s_{cr}(t)=0+0 \cdot t+{22,5 \over 2}t^2\)

\(\Longrightarrow s_{cr}(t)=11,25t^2, \space \space 0 \le t \le 1 \space \mathrm s\)

Utilizando a equação \((II)\), a função da velocidade do carro é:

\(\Longrightarrow v_{cr}(t)=v_{0,cr}+a_{cr}t\)

\(\Longrightarrow v_{cr}(t)=0+22,5t\)

\(\Longrightarrow v_{cr}(t)=22,5t, \space \space 0 \le t \le 1 \space \mathrm s\)

É dito que, após \(t=1 \space \mathrm s\), a velocidade do carro se estabiliza em \(81 \space \mathrm {km/h} = 22,5 \space \mathrm {m/s}\). Portanto, a função completa de \(v_{cr}(t)\) é:

\(\Longrightarrow v_{cr}(t) = \left \{ \begin{matrix} 22,5t, & 0 \le t \le 1 \space \mathrm s \\ 22,5, & t \ge 1 \space \mathrm s \end{matrix} \right.\)

Em \(t=1 \space \mathrm s\), a posição \(s_{1,cr}\) do carro é:

\(\Longrightarrow s_{1,cr}=s_{cr}(1)\)

\(\Longrightarrow s_{1,cr}=11,25(1)^2\)

\(\Longrightarrow s_{1,cr}=11,25 \space \mathrm m\)

Portanto, utilizando a equação \((I)\), a função da posição do carro em \(t \ge 1 \space \mathrm s\) é:

\(\Longrightarrow s_{cr}(t)=s_{1,cr}+v_{1,cr}(t-1)+{a_{cr} \over 2}(t-1)^2\)

\(\Longrightarrow s_{cr}(t)=11,25+22,5(t-1)+{0 \over 2}(t-1)^2\)

\(\Longrightarrow s_{cr}(t)=11,25+22,5(t-1), \space \space t \ge 1 \space \mathrm s\)     \((IV)\)

Portanto, a função completa da posição \(s_{cr}(t)\) do carro é:

\(\Longrightarrow s_{cr}(t) = \left \{ \begin{matrix} 11,25t^2, & 0 \le t \le 1 \space \mathrm s \\ 11,25+22,5(t-1), & t \ge 1 \space \mathrm s \end{matrix} \right.\)

Vamos supor que, no instante \(t_u\), o carro ultrapassa o caminhão. Ou seja, em \(t_u\), os dois veículos estão na mesma posição em relação ao referencial. Portanto, igualando as equações de posição \((III)\) e \((IV)\), a equação resultante é:

\(\Longrightarrow s_{cm}(t_u)=s_{cr}(t_u)\)

\(\Longrightarrow 15t_u= 11,25+22,5(t_u-1)\)

Através da equação anterior, o valor de \(t_u\) é:

\(\Longrightarrow 15t_u= 11,25+22,5t_u-22,5\)

\(\Longrightarrow 15t_u - 22,5t_u= 11,25-22,5\)

\(\Longrightarrow -7,5t_u= -11,25\)

\(\Longrightarrow t_u= 1,5 \space \mathrm s\)

Para encontrar a posição da ultrapassagem, pode-se substituir o valor de \(t_u\) tanto na equação \((III)\) quanto na equação \((IV)\). Substituindo \(t_u= 1,5 \space \mathrm s\) na equação \((IV)\), o valor da posição \(s_{cr}(t_u)\) é:

\(\Longrightarrow s_{cr}(t_u)=11,25+22,5(t_u-1)\)

\(\Longrightarrow s_{cr}(t_u)=11,25+22,5(1,5-1)\)

\(\Longrightarrow s_{cr}(t_u) = 22,5 \space \mathrm m\)

Concluindo, o instante e a posição de ultrapassagem são, respectivamente:

\(\Longrightarrow \fbox {$ t_u= 1,5 \space \mathrm s $}\)

\(\Longrightarrow \fbox {$ s_{cr}(t_u) = 22,5 \space \mathrm m $}\)

b)

No primeiro caso, o carro partiu dois segundos após a passagem do caminhão.

Vamos supor que, em \(t_0=0 \space \mathrm s\), o carro parte da posição de referência \(s=0 \space \mathrm m\). Portanto, toda a análise realizada sobre o carro na letra a) é válida na letra b). Portanto, a função completa da posição \(s_{cr}(t)\) do carro é:

\(\Longrightarrow s_{cr}(t) = \left \{ \begin{matrix} 11,25t^2, & 0 \le t \le 1 \space \mathrm s \\ 11,25+22,5(t-1), & t \ge 1 \space \mathrm s \end{matrix} \right.\)    \((V)\)

No instante \(t_0=0 \space \mathrm s\), a velocidade do caminhão continua sendo \(v_{0,cm}=15 \space \mathrm {m/s}\). Além disso, o caminhão está dois segundos à frente do carro. Ou seja, a nova posição inicial do caminhão é:

\(\Longrightarrow s_{0,cm}^{'}= s + v_{0,cm}t =0+15 \cdot 2\)              \(\to s_{0,cm}^{'}= 30 \space \mathrm {m}\)

Como o caminhão possui velocidade constante por todo o trajeto, sua aceleração é \(a_{cm}=0 \space \mathrm {m/s^2}\). Portanto, utilizando a equação \((I)\), a nova função da posição do caminhão para \( t \ge 0 \space \mathrm s\) é:

\(\Longrightarrow s_{cm}^{'}(t)=s_{0,cm}^{'}+v_{0,cm}t+{a_{cm} \over 2}t^2\)

\(\Longrightarrow s_{cm}^{'}(t)=30+15t+{0 \over 2}t^2\)

\(\Longrightarrow s_{cm}^{'}(t)=30+15t, \space \space t \ge 0 \space \mathrm s\)     \((V)\)

Vamos supor que, em um outro instante \(t_u^{'}\), o carro ultrapassa o caminhão. Ou seja, em \(t_u^{'}\), os dois veículos estão na mesma posição em relação ao referencial. Portanto, igualando as equações de posição \((IV)\) e \((V)\), a equação resultante é:

\(\Longrightarrow s_{cm}^{'}(t_u^{'})=s_{cr}(t_u^{'})\)

\(\Longrightarrow 30+15t_u^{'}= 11,25+22,5(t_u^{'}-1)\)

Através da equação anterior, o valor de \(t_u^{'}\) é:

\(\Longrightarrow 30+15t_u^{'}= 11,25+22,5t_u^{'}-22,5\)

\(\Longrightarrow 15t_u^{'}-22,5t_u^{'}= 11,25-22,5-30\)

\(\Longrightarrow -7,5t_u^{'}= -41,25\)

\(\Longrightarrow t_u^{'}= 5,5 \space \mathrm s\)

Para encontrar a posição da ultrapassagem, pode-se substituir o valor de \(t_u^{'}\) tanto na equação \((IV)\) quanto na equação \((V)\). Substituindo \(t_u^{'}= 5,5 \space \mathrm s\) na equação \((IV)\), o valor da posição \(s_{cr}(t_u^{'})\) é:

\(\Longrightarrow s_{cr}(t_u^{'})=11,25+22,5(t_u^{'}-1)\)

\(\Longrightarrow s_{cr}(t_u^{'})=11,25+22,5(5,5-1)\)

\(\Longrightarrow s_{cr}(t_u^{'})=112,5 \space \mathrm m\)

Concluindo, o instante e a posição de ultrapassagem são, respectivamente:

\(\Longrightarrow \fbox {$ t_u^{'}= 5,5 \space \mathrm s $}\)

\(\Longrightarrow \fbox {$ s_{cr}(t_u^{'})=112,5 \space \mathrm m $}\)