Vamos analisar a função: \[ f(x,y) = 3e^x + y^2 - \ln(xy) \] Para determinar a direção em que a função decresce mais rapidamente, precisamos calcular o gradiente \(\nabla f(x,y)\) e depois tomar o vetor oposto, pois a direção de decrescimento mais rápido é o negativo do gradiente. Passo 1: Calcular as derivadas parciais. \[ \frac{\partial f}{\partial x} = 3e^x - \frac{1}{x} \] \[ \frac{\partial f}{\partial y} = 2y - \frac{1}{y} \] Passo 2: O gradiente é: \[ \nabla f(x,y) = \left(3e^x - \frac{1}{x}, \quad 2y - \frac{1}{y}\right) \] Passo 3: A direção de decrescimento mais rápido é o vetor negativo do gradiente: \[ -\nabla f(x,y) = \left(-3e^x + \frac{1}{x}, \quad -2y + \frac{1}{y}\right) \] Agora, vamos comparar com as alternativas: a) \((3 e^x + \frac{y}{x}, 2y + \frac{x}{y})\) → não corresponde. b) \((-3 e^x + \frac{y}{x}, -2 y + \frac{x}{y})\) → tem termos \(\frac{y}{x}\) e \(\frac{x}{y}\), que não aparecem no gradiente. c) \((-3 e^x - \frac{1}{x}, -2 y - \frac{1}{y})\) → sinais errados nos termos \(\frac{1}{x}\) e \(\frac{1}{y}\). d) \((-3 e^x - \frac{y}{x}, -2 y - \frac{x}{y})\) → termos \(\frac{y}{x}\) e \(\frac{x}{y}\) não corretos. e) \((-3 e^x + \frac{1}{x}, -2 y + \frac{1}{y})\) → corresponde exatamente ao vetor negativo do gradiente. Resposta correta: e) \((-3 e^x + \frac{1}{x}, -2 y + \frac{1}{y})\)