Vamos resolver passo a passo. A função dada é: \[ f(x,y) = 3e^x + y^2 - \ln(xy) \] Para encontrar a direção em que a função decresce mais rapidamente, precisamos calcular o gradiente \(\nabla f\) e depois tomar o vetor oposto, pois a direção de decrescimento mais rápido é o negativo do gradiente. 1. Calcule as derivadas parciais: \[ \frac{\partial f}{\partial x} = 3e^x - \frac{1}{x} \] \[ \frac{\partial f}{\partial y} = 2y - \frac{1}{y} \] 2. O gradiente é: \[ \nabla f = \left( 3e^x - \frac{1}{x}, \quad 2y - \frac{1}{y} \right) \] 3. A direção de decrescimento mais rápido é o vetor negativo do gradiente: \[ -\nabla f = \left( -3e^x + \frac{1}{x}, \quad -2y + \frac{1}{y} \right) \] Agora, analisando as alternativas, a que corresponde a esse vetor é: d) \(\left( -3e^x + \frac{1}{x}, \quad -2y + \frac{1}{y} \right)\) Resposta correta: alternativa d.