Neste exercício, deve-se resolver a seguinte inequação:

\(\Longrightarrow x^2 + x + 1>0\)

Primeiro, deve-se achar os zeros da expressão \(x^2 + x +1\), ou seja, deve-se achar os valores reais de \(x\) que anulam a expressão.

A expressão anterior está no formato \(ax^2 + bx +c\) para a utilização da Fórmula de Bhaskara, com \(a=1\), \(b=1\) e \(c=1\). Portanto, o valor do discriminante \(\Delta\) é:

\(\Longrightarrow \Delta = b^2 - 4ac\)

\(\Longrightarrow \Delta = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1\)

\(\Longrightarrow \Delta = -3<0\)

Como \(\Delta <0\), a expressão \(x^2 + x +1\) nunca será zero para valores reais de \(x\).

Além disso, tem-se que \(a=1>0\). Portanto, a concavidade da função \(y=x^2 + x +1\) é voltada para cima, ou seja, ela é positiva para todos os valores reais de \(x\). Isso pode ser visto no gráfico apresentado no link a seguir:

https://www.google.com.br/search?q=x%5E2+%2B+x+%2B+1&oq=x%5E2+%2B+x+%2B+1&aqs=chrome..69i64j69i60l4j69i57.1157j0j9&sourceid=chrome&ie=UTF-8

Concluindo, a solução da inequação \(x^2 + x + 1>0\) é:

\(\Longrightarrow \fbox {$ x=\Big \{ \big]-\infty, +\infty \big[,\space x \in \mathbb{R} \Big \} $}\)