Vamos analisar cada afirmativa com base no Teorema de Green: I. \(\oint_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \iint_D (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot \mathbf{k} \, dA\) — Esta é uma forma correta do Teorema de Green, relacionando a integral de linha ao redor da curva \(C\) com a integral dupla sobre a região \(D\). II. \(\oint_C (M dx + N dy) = \iint_D \left(\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}\right) dA\), com \(\mathbf{F} = M \mathbf{i} + N \mathbf{j}\) — Também é uma forma correta do Teorema de Green. III. \(\iint_S \mathbf{F} = \iint_S \nabla \times \mathbf{F} \, dV\) — Esta expressão está incorreta, pois mistura integrais de superfície e volume de forma inadequada e não corresponde ao Teorema de Green. IV. \(\oint_C \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} ds = \iint_D \left(\frac{\partial M}{\partial x} + \frac{\partial N}{\partial y}\right) dA\) — Esta é a forma do Teorema da Divergência em 2D, que é relacionada, mas não é o Teorema de Green na forma clássica de circulação. Portanto, as afirmativas corretas são I e II. A alternativa correta é: A) I e II.