Vamos analisar o sistema: Equações: 1) 6x + ky = 9 2) 2x - 7y = 1 Matriz dos coeficientes: \[ \begin{bmatrix} 6 & k \\ 2 & -7 \end{bmatrix} \] Determinante: \[ D = 6 \times (-7) - 2 \times k = -42 - 2k \] Para classificar o sistema: - Sistema possível e determinado: \(D \neq 0\) - Sistema possível e indeterminado: \(D = 0\) e determinante dos termos independentes também zero - Sistema impossível: \(D = 0\) e determinante dos termos independentes diferente de zero Vamos calcular \(D = 0\): \[ -42 - 2k = 0 \Rightarrow 2k = -42 \Rightarrow k = -21 \] Então: - Para \(k \neq -21\), \(D \neq 0\), sistema possível e determinado. - Para \(k = -21\), \(D = 0\), precisamos verificar se o sistema é possível e indeterminado ou impossível. Determinante da matriz ampliada (substituindo a coluna dos coeficientes de y pelos termos independentes): \[ \begin{bmatrix} 6 & 9 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} \] Determinante: \[ D_x = 6 \times 1 - 2 \times 9 = 6 - 18 = -12 \neq 0 \] Determinante da matriz ampliada para y (substituindo a coluna dos coeficientes de x pelos termos independentes): \[ \begin{bmatrix} 9 & k \\ 1 & -7 \end{bmatrix} \] Determinante: \[ D_y = 9 \times (-7) - 1 \times k = -63 - k \] Para \(k = -21\), \(D_y = -63 - (-21) = -63 + 21 = -42 \neq 0\) Como \(D = 0\) e pelo menos um dos determinantes das matrizes ampliadas é diferente de zero, o sistema é impossível para \(k = -21\). Agora, analisando as sentenças: I- O sistema é impossível para todo \(k\) real diferente de -21. Falso, é impossível apenas para \(k = -21\). II- O sistema é possível e indeterminado para todo \(k\) real diferente de -63. Falso, não tem relação direta com -63. III- O sistema é possível e determinado para todo \(k\) real diferente de -21. Verdadeiro. IV- O sistema é possível e indeterminado para todo \(k\) real diferente de -3. Falso. Portanto, somente a sentença III está correta. Resposta correta: A) Somente a sentença III está correta.