Sejam u e v vetores unitários e ortogonais entre si. Usando a propriedade do quadrado da norma. Mostre que ||u × v|| = 1.

Claro! Vamos mostrar que, para vetores unitários e ortogonais \( \mathbf{u} \) e \( \mathbf{v} \), vale \( \| \mathbf{u} \times \mathbf{v} \| = 1 \). Passo 1: Dados - \( \mathbf{u} \) e \( \mathbf{v} \) são vetores unitários, então \( \| \mathbf{u} \| = 1 \) e \( \| \mathbf{v} \| = 1 \). - São ortogonais, ou seja, \( \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = 0 \). Passo 2: Propriedade do produto vetorial Sabemos que: \[ \| \mathbf{u} \times \mathbf{v} \| = \| \mathbf{u} \| \cdot \| \mathbf{v} \| \cdot \sin \theta \] onde \( \theta \) é o ângulo entre \( \mathbf{u} \) e \( \mathbf{v} \). Passo 3: Como \( \mathbf{u} \) e \( \mathbf{v} \) são ortogonais, \( \theta = 90^\circ \), então \( \sin \theta = 1 \). Passo 4: Substituindo os valores: \[ \| \mathbf{u} \times \mathbf{v} \| = 1 \times 1 \times 1 = 1 \] Conclusão: \( \| \mathbf{u} \times \mathbf{v} \| = 1 \). Pronto! Demonstramos usando a propriedade do quadrado da norma e as características dos vetores.