Determine o ponto da reta r cuja sua ordenada vale 6. A(1,0,-2) vetor(-1,2,3)

Então, moça, a primeira coisa é encontrar uma equação da reta. Como o ponto A(1,0,-2) está nela e o vetor v = [-1,2,3] é diretor a ela, sua equação mais óbvia é:

r:x = A + tv = (1,0,-2) + t[-1,2,3]

ou, na forma paramétrica,

x = 1 - t
y = 2t
z = -2 + 3t

Agora, o que você quer é achar o ponto onde y = 6, certo? Basta descobrir então para qual valor de t isso acontece nas equações acima. Fazendo y = 6, a gente tem

2t = 6 ∴ t = 3

Então, quando t = 3, você tem a resposta. Substituindo t = 3 em todas as equações acima:

x = 1 - 2 = -1
y = 6
z = -2 + 3*3 = 7

Logo, seu ponto é (-1,6,7).

Para encontrarmos o ponto da reta, realizaremos os cálculos abaixo:

\(\begin{align} & A=(1,0,-2) \\ & v(-1,2,3) \\ & \\ & X=A+vt \\ & (x,y,z)=(1,0,-2)+(-1,2,3)t \\ & x=1-t \\ & y=2t \\ & z=-2+3t \\ & \\ & y=6 \\ & t=3 \\ & \\ & x=1-3=-2 \\ & y=2(3)=6 \\ & z=-2+3(3)=7 \\ & \\ & P=(-2,6,7) \\ \end{align}\ \)