Dado a € |R tal que |a| > 1, mostre que a^n/n! ->0 quando n -> +infinito

Olá,

se tu mostrares que o teste da razão para uma sequência for uma constante, então o limite da sequência convergirá a zero.

Seja \(c \in \mathbb{R}\)tal que, se \(lim \frac{x_{n+1}}{x_n}=\lambda <1\), \(\lambda < c<1\). Então, \(\forall n>n_0 \Rightarrow 0 \le \frac{x_{n+1}}{x_n} \le c\). Logo, \(0 \le x_{n+1}=\frac{x_{n+1}}{x_n}x_n < x_n c<x_n\), \(\forall n>n_0\). Logo a sequência é monótona limitada. Tome \(b=lim(x_n)\). Como \(x_{n+1}<x_nc\), fazendo \(n\rightarrow \infty\), \(b \le cb \Leftrightarrow (1-c)b\le 0\). Mas \(b\ge0\) e \(0< c<1\). Temos então que b=0.

Com esse resultado, basta ver, pelo teste da razão, que \(lim \frac{a^n}{n!}=0\).