Preciso de ajuda

https://www.passeidireto.com/arquivo/6346295/lista-3-

Primeiro vamos determinar as coordenadas dos vértices, começando pelo A, determinando o cruzamento da reta s com o plano \(\pi\). Para um ponto geral do plano, temos:

\(A = (x,y,2-x+y)\)

Aplicando à equação da reta, temos o seguinte sistema de equações:

\(\left\{\begin{align} x &= y+12\\ y &= z=2-x+y\Rightarrow x=2 \end{align}\right.\)

Substituindo a segunda na primeira:

\(2=y+12\Rightarrow y=-10\)

Então temos o ponto A:

\(A=(2,-10,2-2-10)=(2,-10,-10)\)

Para o vértice B, temos a intersecção da reta r com o plano Oxz:

\(X=(1,1,0)+\lambda(0,1,1)=(x,0,z)=B\)

que nos dá o seguinte sistema de equações:

\(\left\{\begin{align} x &= 1\\ 0 &= 1+\lambda\Rightarrow \lambda=-1\\ z&=\lambda=-1 \end{align}\right.\)

Logo, temos:

\(B=(1,0,-1)\)

Para o vértice C, temos a intersecção da reta r com o plano Oxy:

\(X=(1,1,0)+\lambda(0,1,1)=(x,y,0)=C\)

que nos dá o seguinte sistema de equações:

\(\left\{\begin{align} x &= 1\\ y &= 1+\lambda\\ 0&=\lambda \end{align}\right.\)

Logo, temos:

\(C=(1,1,0)\)

Pelo módulo do produto vetorial dos lados, podemos calcular a área do triângulo:

\(Ar = {1\over2}||\vec{CA}\times\vec{CB}||\)

Para os vetores, temos:

\(\vec{CA}=A-C=(2-1,-10-1,-10-0)=(1,-11,-10)\\ \vec{CB}=B-C=(1-1,0-1,-1-0)=(0,-1,-1)\)

Voltando para a fórmula da área:

\(Ar = {1\over2}\left\vert\left\vert\begin{vmatrix}\hat{x}&\hat{y}&\hat{z}\\1&-11&-10\\0&-1&-1\end{vmatrix}\right\vert\right\vert\)

Calculando o determinante, temos:

\(Ar = {1\over2}\left\vert\left\vert(1,1,-1)\right\vert\right\vert\)

Calculando a norma do vetor, temos:

\(Ar = {1\over2}\sqrt{1^2+1^2+(-1)^2}\)

Temos, portanto:

\(\boxed{Ar = {\sqrt{3}\over2}}\)