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Mostre que o vetor v = (3, 1, 1) ∈ R3 é combinação linear dos vetores u1 = (1, 1, 0), u2 = (2, 1, 2), u3 = (1, 2, 1) ∈ R3 .


2 resposta(s) - Contém resposta de Especialista

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RD Resoluções Verified user icon

Há mais de um mês

Para o vetor \(\overrightarrow v=(3,1,1)\) ser combinação linear de \(\overrightarrow {u_1} = (1,1,0)\)\(\overrightarrow {u_2} = (2,1,2)\) e \(\overrightarrow {u_3} = (1,2,1)\), a seguinte equação deve ser atendida:

\(\Longrightarrow \overrightarrow v = a \cdot \overrightarrow {u_1} + b \cdot \overrightarrow {u_2} + c \cdot \overrightarrow {u_3}\)

\(\Longrightarrow (3,1,1) = a \cdot (1,1,0)+ b \cdot (2,1,2) + c \cdot (1,2,1)\)

Sendo \(a\)\(b\) e \(c\) valores reais.


Para resolver o exercício, temos que provar que \(a\)\(b\) e \(c\) são reais e satisfazem a equação anterior. Portanto, tem-se que:

\(\Longrightarrow (3,1,1) = (a,a,0)+ (2b,b,2b) + (c,2c,c)\)

\(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} a+2b+c=3 &(I) \\ a+b+2c = 1 &(II)\\ 2b+c=1 &(III) \end{matrix} \right.\)


Realizando a operação \((I)-(II)\), a nova equação \((II)\) é:

\(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} a+2b+c=3 &(I) \\ b-c = 2 &(II)\\ 2b+c=1 &(III) \end{matrix} \right.\)


Realizando a operação \(2(II)-(III)\), a nova equação \((III)\) é:

\(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} a+2b+c=3 &(I) \\ b-c = 2 &(II)\\ -3c=3 &(III) \end{matrix} \right.\)


Pela equação \((III)\), o valor de \(c\) é:

\(\Longrightarrow -3c = 3\)

\(\Longrightarrow \underline { c=-1}\)


Pela equação \((II)\), o valor de \(b\) é:

\(\Longrightarrow b-c = 2\)

\(\Longrightarrow b+1 = 2\)

\(\Longrightarrow \underline {b=1 }\)


Pela equação \((I)\), o valor de \(a\) é:

\(\Longrightarrow a+2b+c=3\)

\(\Longrightarrow a+2\cdot 1-1=3\)

\(\Longrightarrow a+1=3\)

\(\Longrightarrow \underline {a=2}\)


Concluindo, a equação que comprova que o vetor \(\overrightarrow v=(3,1,1)\) é combinação linear de \(\overrightarrow {u_1} = (1,1,0)\)\(\overrightarrow {u_2} = (2,1,2)\) e \(\overrightarrow {u_3} = (1,2,1)\) está apresentada a seguir:

\(\Longrightarrow (3,1,1) = a \cdot (1,1,0)+ b \cdot (2,1,2) + c \cdot (1,2,1)\)

\(\Longrightarrow \fbox {$ (3,1,1) = 2 \cdot (1,1,0)+ (2,1,2) - (1,2,1) $}\)

Para o vetor \(\overrightarrow v=(3,1,1)\) ser combinação linear de \(\overrightarrow {u_1} = (1,1,0)\)\(\overrightarrow {u_2} = (2,1,2)\) e \(\overrightarrow {u_3} = (1,2,1)\), a seguinte equação deve ser atendida:

\(\Longrightarrow \overrightarrow v = a \cdot \overrightarrow {u_1} + b \cdot \overrightarrow {u_2} + c \cdot \overrightarrow {u_3}\)

\(\Longrightarrow (3,1,1) = a \cdot (1,1,0)+ b \cdot (2,1,2) + c \cdot (1,2,1)\)

Sendo \(a\)\(b\) e \(c\) valores reais.


Para resolver o exercício, temos que provar que \(a\)\(b\) e \(c\) são reais e satisfazem a equação anterior. Portanto, tem-se que:

\(\Longrightarrow (3,1,1) = (a,a,0)+ (2b,b,2b) + (c,2c,c)\)

\(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} a+2b+c=3 &(I) \\ a+b+2c = 1 &(II)\\ 2b+c=1 &(III) \end{matrix} \right.\)


Realizando a operação \((I)-(II)\), a nova equação \((II)\) é:

\(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} a+2b+c=3 &(I) \\ b-c = 2 &(II)\\ 2b+c=1 &(III) \end{matrix} \right.\)


Realizando a operação \(2(II)-(III)\), a nova equação \((III)\) é:

\(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} a+2b+c=3 &(I) \\ b-c = 2 &(II)\\ -3c=3 &(III) \end{matrix} \right.\)


Pela equação \((III)\), o valor de \(c\) é:

\(\Longrightarrow -3c = 3\)

\(\Longrightarrow \underline { c=-1}\)


Pela equação \((II)\), o valor de \(b\) é:

\(\Longrightarrow b-c = 2\)

\(\Longrightarrow b+1 = 2\)

\(\Longrightarrow \underline {b=1 }\)


Pela equação \((I)\), o valor de \(a\) é:

\(\Longrightarrow a+2b+c=3\)

\(\Longrightarrow a+2\cdot 1-1=3\)

\(\Longrightarrow a+1=3\)

\(\Longrightarrow \underline {a=2}\)


Concluindo, a equação que comprova que o vetor \(\overrightarrow v=(3,1,1)\) é combinação linear de \(\overrightarrow {u_1} = (1,1,0)\)\(\overrightarrow {u_2} = (2,1,2)\) e \(\overrightarrow {u_3} = (1,2,1)\) está apresentada a seguir:

\(\Longrightarrow (3,1,1) = a \cdot (1,1,0)+ b \cdot (2,1,2) + c \cdot (1,2,1)\)

\(\Longrightarrow \fbox {$ (3,1,1) = 2 \cdot (1,1,0)+ (2,1,2) - (1,2,1) $}\)

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Leandro Cajuela Lopes

Há mais de um mês

Se o V é combinação linear dos vetores u1, u2 e u3. V pode ser escrito da seguinte maneira:
V = Au1 + Bu2 + Cu3 (em que A, B C são escalares e pertence ao cunjunto dos reais).
Então:
(3, 1, 1) = A(1, 1, 0) + B(2, 1, 2) + C(1, 2, 1)
(3, 1, 1) = (A, A, 0) + (2B, B, 2B) + (C, 2C, C)
(3, 1, 1) = (A+2B+C, A+B+2C, 2B+C) 
Então, tem-se o seguinte sistema linear de 3 equações e 3 incógnitas:

A+2B+C = 3
A+B+2C = 1
2B+ C =1

Fazendo o sistema por escalonamento (também pode ser por substituição), obteremos A = 2, B = 1 e C = -1. Portanto V é a combinação linear de u1, u2 e u3, e pode ser escrito da seguinte maneira:
(3, 1, 1) = 2(1, 1, 0) + 1(2, 1, 2) - 1(1, 2, 1)

Essa pergunta já foi respondida por um dos nossos especialistas