Obter os dois vetores unitários ortogonais a cada um dos vetores : a)4i+3j b)(-2,3) c)(-1,-1) respostas : a)(3/5,-4/5) e (-3/5,4/5) b)3/raiz de 13,2/

Boa noite, Thaís.

Vetor unitário é bem simples de se calcular.

v0=v/||v||

Se v = ai+bj, então:

||v|| = √(a²+b²)

Para encontrar um vetor ortogonal a este temos que fazer:

v.w=0 (produto interno é nulo)

Supondo v=ai+bj e w=xi+yj, temos:

v.w=ax+by=0

ax=-by

a/b=-y/x

Então, uma combinação que dá certo é 'inverter' as coordenadas de a com b e tomar o valor negativo.

a)4i+3j

Vetor ortogonal invertendo as coordenadas e deixando negativo um dos termos:

-3i+4j ou 3i-4j

Para encontrarmos um vetor unitário, basta utilizar a definição de norma:

||-3i+4j||=||3i-4j||=√(3²+4²)=√(9+16)=√25=5

Então, dividindo os vetores anteriores pela norma obteremos vetores unitários

(-3/5, 4/5) ou (3/5, -4/5)

b) (-2, 3) é ortogonal a (3, 2) ou (-3, -2)

||3i+2j||=||-3i-2j||=√(3²+2²)=√(9+4)=√13

Então, respostas: (3/√13, 2/√13) ou (-3/√13, -2/√13)

c)(-1, -1) é ortogonal a (1, -1) ou (-1, 1)

||1i-1j||=||-1i+1j||=√(1²+1²)=√(1+1)=√2

(1/√2, -1/√2) ou (-1/√2, 1/√2)

Espero ter ajudado! :) Abraços!

Barbara, bom dia!

Para tentar ajudar com a ideia da inversão das coordenadas vou dar um exemplo:

Um vetor que seria ortogonal ao vetor u=3i+4j (vetor em R2) seria o vetor v=4i-3j ou w=-4i+3j.

u=(3,4)

v=(4,-3)

w=(-4,3)

Veja que as coordenadas de v e w foram obtidas somente trocando as coordenadas de u e ao mesmo tempo trocando o sinal de uma delas.

Para que dois vetores sejam ortogonais seu produto interno valerá zero.

u.v = (3,4).(4,-3)=3x4+4x(-3)=12-12=0

ou

u.w = (3,4).(-4,3)=3x(-4)+4x3=-12+12=0

Espero ter ajudado!

Para se obter vetores unitários as normas devem ser unitárias. Vetores ortogonais possuem produto escalar nulo.

a)

\((4,3) \cdot (a,b) = 0 \\ 4a + 3b = 0 \\ a = - \frac{3b}{4}\)

Logo:

\(b^2 + (-\frac{3b}{4})^2 = 1 \\ b = \pm \frac{4}{5}\)

O que nos possibilita ter:

\(\boxed{(-\frac{3}{5}, \frac{4}{5}), \ (\frac{3}{5}, -\frac{4}{5})}\)

b)

\((-1,1) \cdot (a,b) = 0 \\ -a + b = 0 \\ a = b\)

Logo:

\(b^2 + (\frac{3b}{2})^2 = 1 \\ b = \pm \frac{2}{\sqrt{13}}\)

O que nos possibilita ter:

\(\boxed{(\frac{3}{\sqrt{13}}, -\frac{2}{\sqrt{13}}), \ (-\frac{3}{\sqrt{13}}, \frac{2}{\sqrt{13}})}\)

c)

\((-2,3) \cdot (a,b) = 0 \\ -2a + 3b = 0 \\ a = \frac{3b}{2}\)

Logo:

\(b^2 + b^2 = 1 \\ b = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}\)

O que nos possibilita ter:

\(\boxed{(\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}}), \ (-\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}})}\)