Uma curva é definida pela equação y=-x^2+2x-1. Encontrar a equação da reta tangente a esta curva no ponto (-1, -4).

A inclinação da reta tangente à curva \(y=-x^2 + 2x - 1\) num ponto \((x,y)\) é:

\(\Longrightarrow {dy \over dx} = {d \over dx}(-x^2 + 2x - 1)\)

\(\Longrightarrow {dy \over dx} = (-2x + 2 - 0)\)

\(\Longrightarrow {dy \over dx} = 2(1-x)\)

Portanto, no ponto \((-1,-4)\), a inclinação é:

\(\Longrightarrow {dy \over dx} = 2(1-(-1))\)

\(\Longrightarrow {dy \over dx} = 4\)

Com isso, a equação da reta tangente \(y_{tan}\) correspondente ao ponto \((-1,-4)\) é:

\(\Longrightarrow y_{tan} = {dy \over dx} x +b\)

\(\Longrightarrow y_{tan} =4x +b\)

Substituindo o ponto \((-1,-4)\), o valor de \(b\) é:

\(\Longrightarrow -4 =4\cdot (-1) +b\)

\(\Longrightarrow -4 =-4 +b\)

\(\Longrightarrow b=0\)

Portanto, a equação completa de \(y_{tan}\) é:

\(\Longrightarrow y_{tan} =4x+0\)

\(\Longrightarrow \fbox {$ y_{tan} =4x $}\)