COMO FAZER O ESTUDO COMPLETO DA FUNÇÃO Ln raiz quadrada de -x / raiz quadrada de -x

Determinar o conjunto de domínio, contra domínio e imagem desta função. Verificar se é crescente ou descreste e se ela é par ou ímar. Acredito que só isso. 

Acho que falar "estudo completo" é meio vago, porque dá pra dizer muita coisa, mas muita coisa mesmo sobre uma função, tipo domínio, imagem, se ela é crescente ou decrescente, par ou ímpar (que nem a Gleice falou), e mais outras coisas como os zeros, máximos e mínimos, derivadas, se tem alguma assíntota, expansões em séries de Taylor, se é convexa, e mais um monte de coisa que eu nem tenho ideia do que se trata. Então, eu vou tentar fazer o básico mesmo.

A sua função é:

          ln[√(-x)]
f(x) = -----------
            √(-x)

Primeira coisa, o domínio. Graças à raiz quadrada, o termo (-x) tem que ser não negativo. Logo,

(-x) ≥ 0 (multiplicando por -1 e invertendo o sinal)
x ≤ 0

Porém, como esse termo aparece no denominador, ele não pode nunca ser zero. Logo, x ≠ 0 e, combinando com a parte de cima, x < 0.

Agora, graças ao logarimo, o termo √(-x) tem que ser todo maior que zero. Isso já é garantido se x < 0. Assim, juntando tudo, o domínio dessa função é D: x < 0.

Em termos de estudo do sinal, como o denominador é sempre positivo, o sinal dessa função vai ser igual ao sinal do numerador, ln[√(-x)]. O ln é negativo quando seu argumento está entre 0 e 1, vale 0 quando seu argumento é 1, e é positivo no resto. Então, como esse argumento é √(-x), a gente tem que

Argumento entre 0 e 1:
0 < √(-x) < 1 (eleva tudo ao quadrado e despreza o módulo porque x é sempre negativo)
0 < (-x) < 1
-1 < x < 0

Argumento igual a 1:
√(-x) = 1 ⇒ x = -1

Argumento maior que 1:
√(-x) > 1 ⇒ x < -1

Então, quando -1 < x < 0, a função é negativa, zero quando x = -1, e positiva quando x < -1.

Em questão de assíntotas, quando x → 0- (tende a zero pela esquerda), a função tende a -∞, então esse negócio tem uma assíntota vertical em x = 0.

Fazendo x → -∞, a função gera um limite de ∞/∞, o que pode ser resolvido pela Regra de L'Hopital. Como eu tou com preguiça de derivar isso tudo e escrever aqui, eu vou "roubar". Como eu sei que o ln cresce muito mais devagar que a raiz quadrada, eu sei que o denominador tende para ∞ mais rápido que o numerador e, assim, o limite tende para 0. Logo, ela tem uma assíntota horizontal y = 0.

Dá pra ir além e viajar aqui. Se quiser, dê uma olhada no Wolfram que ele costuma fazer os estudos completos (se você quiser pagar um pouquinho a mais).

ímpar*