PF Ajuda Cônicas!!! URGENTE PF Reescreva a equação na forma canônica e esboce a curva dada pela equação: 4x^2 + 40x + y^2 - 6y + 108 = 0

Para você escrever a equação na forma canônica, você deve reduzir a equação. É a forma mais simples. Junte os termos semelhantes, os que tem x, depois os que tem y deixando os valores numéricos do outro lado da igualdade.

4x^2 + 40x+y^2-6y=-108     

coloque o termo que multiplica x e y en evidência:

4( x^2+10x) + (y^2-6y)= -108

divida o termo multiplicador 10x e -6y por 2, e eleve ao quadrado e subtraia o quadrado.

4[(x+5)^2-25] + (y-3)^2-9=-108

4(x+5)^2-100+(y-3)^2-9=-108

4(x+5)^2+(y-3)^2=1

No you tube tem uns videos que ensinam essa redução.

Seja:

\(4x^2\:+\:40x\:+\:y^2\:-\:6y\:+\:108\:=\:0\)

Vamos passar 108 para o outro lado:

\(4x^2+40x-6y+y^2=-108\)

fatorando:

\(4\left(x^2+10x\right)+\left(y^2-6y\right)=-108\)

Dividindo todo mundo por 4:

\(\left(x^2+10x\right)+\frac{1}{4}\left(y^2-6y\right)=-27\)

Vamos completar quadrados:

\(\left(x^2+10x+??\right)+\frac{1}{4}\left(y^2-6y+??\right)=-27\)

O que somarmos em  devemos tirar para balancear a equação:

\(\frac{1}{1}\left(x^2+10x+25\right)+\frac{1}{4}\left(y^2-6y\right)=-27+\frac{1}{1}\left(25\right)\)

\(\frac{1}{1}\left(x+5\right)^2+\frac{1}{4}\left(y^2-6y\right)=-27+\frac{1}{1}\left(25\right)\)

\(\frac{1}{1}\left(x+5\right)^2+\frac{1}{4}\left(y^2-6y+9\right)=-27+\frac{1}{1}\left(25\right)+\frac{1}{4}\left(9\right)\)

\(\frac{1}{1}\left(x+5\right)^2+\frac{1}{4}\left(y-3\right)^2=-27+\frac{1}{1}\left(25\right)+\frac{1}{4}\left(9\right)\)

\(\frac{1}{1}\left(x+5\right)^2+\frac{1}{4}\left(y-3\right)^2=\frac{1}{4}\)

dividindo todo mundo por 1/4:

\(\frac{\left(x+5\right)^2}{\frac{1}{4}}+\frac{\left(y-3\right)^2}{1}=1\)

reescrevendo isso para que fique na forma canônica:

\(\boxed{\frac{\left(x-\left(-5\right)\right)^2}{\left(\frac{1}{2}\right)^2}+\frac{\left(y-3\right)^2}{1^2}=1\\ }\)

Assim, os parametros dessa elipse são:

\(\left(h,\:k\right)=\left(-5,\:3\right),\:a=1,\:b=\frac{1}{2}\)

O esboço é: