resolva a equação : sen (4x)*cos (4x)=sen (3x)*cos (3x)

Nesse exercício vamos resolver a seguinte equação, usando as identidades de seno do arco duplo e de fatoração trigonométrica:

$$\sin{4x}\cos{4x}=\sin{3x}\cos{3x}$$

Para começar vamos duplicar a equação:

$$2\sin{4x}\cos{4x}=2\sin{3x}\cos{3x}$$

Para a identidade do seno do arco duplo, temos:

$$\sin{2\theta}=2\sin\theta\cos\theta$$

O que nos leva a:

$$\sin{8x}=\sin{6x}\Rightarrow \sin{8x}-\sin{6x}=0$$

Para a identidade de fatoração, temos:

$$\sin{a}-\sin{b}=2\sin{a-b\over2}\cos{a+b\over2}$$

O que nos leva a:

$$2\sin{x}\cos{7x}=0$$

De forma que de duas uma:

$$\begin{cases}

\sin x&=&0\Rightarrow x=2k_1\pi\\

\cos 7x&=&0\Rightarrow 7x={\pi\over2}+k_2\pi\Rightarrow x={\pi\over14}+{k_2\pi\over7}

\end{cases}$$

Para o conjunto solução, temos:

$$\boxed{S=\{x\in\mathbb{R}\vert x=2k\pi,\ k\in\mathbb{Z}\}\cup\left\{x\in\mathbb{R}\vert x={\pi\over14}+{k\pi\over7},\ k\in\mathbb{Z}\right\}}$$

Nesse exercício vamos resolver a seguinte equação, usando as identidades de seno do arco duplo e de fatoração trigonométrica:

$$\sin{4x}\cos{4x}=\sin{3x}\cos{3x}$$

Para começar vamos duplicar a equação:

$$2\sin{4x}\cos{4x}=2\sin{3x}\cos{3x}$$

Para a identidade do seno do arco duplo, temos:

$$\sin{2\theta}=2\sin\theta\cos\theta$$

O que nos leva a:

$$\sin{8x}=\sin{6x}\Rightarrow \sin{8x}-\sin{6x}=0$$

Para a identidade de fatoração, temos:

$$\sin{a}-\sin{b}=2\sin{a-b\over2}\cos{a+b\over2}$$

O que nos leva a:

$$2\sin{x}\cos{7x}=0$$

De forma que de duas uma:

$$\begin{cases}

\sin x&=&0\Rightarrow x=2k_1\pi\\

\cos 7x&=&0\Rightarrow 7x={\pi\over2}+k_2\pi\Rightarrow x={\pi\over14}+{k_2\pi\over7}

\end{cases}$$

Para o conjunto solução, temos:

$$\boxed{S=\{x\in\mathbb{R}\vert x=2k\pi,\ k\in\mathbb{Z}\}\cup\left\{x\in\mathbb{R}\vert x={\pi\over14}+{k\pi\over7},\ k\in\mathbb{Z}\right\}}$$

Nesse exercício vamos resolver a seguinte equação, usando as identidades de seno do arco duplo e de fatoração trigonométrica:

$$\sin{4x}\cos{4x}=\sin{3x}\cos{3x}$$

Para começar vamos duplicar a equação:

$$2\sin{4x}\cos{4x}=2\sin{3x}\cos{3x}$$

Para a identidade do seno do arco duplo, temos:

$$\sin{2\theta}=2\sin\theta\cos\theta$$

O que nos leva a:

$$\sin{8x}=\sin{6x}\Rightarrow \sin{8x}-\sin{6x}=0$$

Para a identidade de fatoração, temos:

$$\sin{a}-\sin{b}=2\sin{a-b\over2}\cos{a+b\over2}$$

O que nos leva a:

$$2\sin{x}\cos{7x}=0$$

De forma que de duas uma:

$$\begin{cases}

\sin x&=&0\Rightarrow x=2k_1\pi\\

\cos 7x&=&0\Rightarrow 7x={\pi\over2}+k_2\pi\Rightarrow x={\pi\over14}+{k_2\pi\over7}

\end{cases}$$

Para o conjunto solução, temos:

$$\boxed{S=\{x\in\mathbb{R}\vert x=2k\pi,\ k\in\mathbb{Z}\}\cup\left\{x\in\mathbb{R}\vert x={\pi\over14}+{k\pi\over7},\ k\in\mathbb{Z}\right\}}$$