encontre as dimensões de um retangulo com area 289 m^2 cujo perimetro seja o menor possivel

Tá bom, imagina que os lados do seu retângulo valham x e y (porque eu tenho preguiça de ser muito criativo). O perímetro dele vai ser então:

P = 2(x + y)
(o 2 aparece porque tem dois lados com valor x e dois com valor y, bem óbvio, né?)

Você quer que essa função tenha o menor valor possível. Só que a gente tem uma restrição de que a área, dada por A = xy, valha 289 m², ou seja,

xy = 289

Se você parar pra pensar existe uma infinidade de valores para x e para y que geram sempre essa área de 289, mas o perímetro vai ser diferente em cada caso. Por exemplo, se x = 10 e y = 28,9, a área desse retângulo vai ser 289, como desejado, e seu perímetro será 2(10+28,9) = 77,8 m. Outra possibilidade é x = 17 e y = 17, que gera A = 17*17 = 289, e um perímetro de 68 m, que é menor que o anterior. Existem infinitas outras possibilidades, e o que a gente quer é achar qual delas gera o menor valor de perímetro.

A forma mais fácil de resolver isso é isolando x ou y na equação da área:

xy = 289 ⇒ y = 289/x

e substituindo na equação do perímetro:

P = 2*(x + y)
   = 2*(x + 289/x)

Agora, isso é uma função de uma variável só, e dá pra achar seu valor mínimo derivando e procurando pra qual valor de x a derivada é nula. Então, derivando essa joça:

P' = 2*(1 - 289/x²)

Igualando isso a 0:

2*(1 - 289/x²) = 0  (dividindo por 2 dos dois lados)
1 - 289/x² = 0
1 = 289/x²
x² = 289
x = ±√289
x = ±17

Como não faz sentido ter um retângulo com lado negativo, x = 17, o que gera y = 289/17 = 17 também. Logo, o perímetro nesse caso seria

P = 2*(17+17) = 68 m

Porém, não acabou, porque a gente precisa saber se isso é um valor máximo ou mínimo. Para isso, bora derivar mais uma vez a função e fazer o teste da derivada segunda.

Como P' = 2*(1 - 289/x²),

P'' = 2*[0 - (-2)*289/x³]
    = 1156/x³

Se, ao substituirmos x por 17 em P'', obtivermos um número positivo, então o perímetro achado é efetivamente um mínimo. Uma vez que

P''(17) = 1156/17³ = 0,2353 > 0

a resposta lá de cima é a correta. Logo, o retângulo que você quer tem as dimensões x = y = 17 m (ou seja, é um quadrado).

Dá pra fazer essa questão mais rápido, mas eu quis detalhar bastante para mostrar como se faz. Se ainda tiver dúvida, pode me perguntar!

Sendo a ára de um retângulo dada por:

\(A=x.y\), onde x e y são as dimensões do retângulo.

Mas como a área é igual a \(289 m^2\), então podemos escrever que:

\(289=xy\), ou seja:

\(y=\frac{289}{x}\) (I)

Sendo x e y as dimensões do retângulo, então o perímetro é dado por:

\(p=2x+2y\) (II)

Substituindo (I) em (II), obtemos:

\(p=2x+\frac{289}{x}\) (III)

Como estamos interessados em determinar o maior perímetro possível, vamos determinar os pontos de máximo da função obtida em (III), para isto primeiro determinamos a derivada da mesma.

\(\frac{dp}{dx}=2-\frac{578}{x^2}\)

Agora fazemos esta última expressão igual a zero:

\(2-\frac{578}{x^2}=0\) o que implica que, x=17 m, substituindo este resultado em (I), obtemos que y=17 m.