Questão resolvida - Encontre as dimensões de um retângulo com perímetro de 100m e cuja área seja a maior possível - Cálculo I - FAM

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Tiago Lima - Instagram: @professor_disciplinas_exatas
 
• Encontre as dimensões de um retângulo com perímetro de 100 m e cuja área seja a 
maior possível.
 
Resolução:
 
Considere o retângulo de base x e altura y abaixo:
 
A área desse retângulo é: A x, y = x ⋅ y( )
É preciso colocar x em função de y, ou o contrário, para possibilitar a derivada com o intuito 
de maximizar as dimensões do retângulo. Para isso vamos usar a perímetro;
P x = 2x + 2y 2x + 2y = 100 2x + 2y = 100 ÷ 2 x + y = 50 y = 50 - x( ) → → ( ) → →
 
Substituindo na equação da área :
 
A x = x ⋅ 50 - x A x = 50x - x( ) ( ) → ( ) 2
 
Para encontrar as maiores dimensões para o retângulo de perímetro 100 m, devemos as achar a
 derivada P' x , depois, fazemos A' x = 0, o x encontrado é o ponto de máximo :( ) ( )
 
A x = 50x - x A' x = 50 - 2x( ) 2 → ( )
 
A' x = 0 50 - 2x = 0 -2x = -50 x = x = 25 m( ) → → →
-50
-2
→
 
Logo, o valor máximo se dá quando x = 25 m, substituindo na relação encontrada com
o perímetro do retângulo, encontramos o valor de máximo para y;
 
y = 50 - x y = 50 - 25 y = 25 m→ →
 
Assim, as dimensões do retângulo de perímetro 100 m se dá para :
 
 
x
yretângulo 
 
 x = 25 m e y = 25 m
 
Perceba que com essas dimensões o retângulo vira um quadrado que é um (
caso particular de retângulo)
 
 
(Resposta )