Como calcular esse exercío de taxas relacionadas

A equação dada indica que o preço de cada caixa P varia com o número de caixas x. Quanto maior o número de caixas, menor será o preço por caixa. O problema pede a taxa de variação de P quando x=10000 cx e a taxa de variação do número de caixas por dia é 200. O resultado será uma taxa negativa, pois quando o número de caixas está aumentando, seu valor está diminuindo, e a redução é indicada pelo sinal negativo.

1°) Variáveis:

P = preço por caixa

x= quantidade de caixas

dx/dt= 200 cx/dia

x=10000 cx

dP/dt=?

2°) Equação que relaciona as variáveis:

P=2+60.(30+x)-¹

3°) Derivar em relação às variáveis de referência:

1.dP/dt = 0+60.-1.(30+x)-².1.dx/dt

dP/dt = [-60/(30+x)²].[dx/dt]

4°) Substituir os valores dados

dP/dt = [-60/(30+10000)²].[200]

dP/dt = -0,0001193 cruzeiros por caixa

Seja \(P=2+\frac{60}{30+x}\)

Para descobrirmos a taxa de variação, vamos derivar a função P:

\(dP/dt=d\frac{(2+\frac{60}{30+x})}{dx}\)

\(dP/dt=0+60.(-(30+x)^-2)\frac{dx}{dt}\)

\(dP/dt=\frac{-60}{(30+x)^2}\frac{dx}{dt}\)

Substituindo \(dx/dt=200/dia\)  e \(x=1000\):

\(dP/dt=\frac{-60}{(30+1000)^2}.200\)

\(dP/dt=\frac{-12000}{1060900}= -0,01\)

Assim, conforme se aumenta o suprimento, o preço cai a uma taxa de\( \boxed{0,01 / dia}\).