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integral tripla zDV, onde E está contido entre x²+y²+z² = 1, x²+y²+z²=9, x = 0, y=0 e z=0 no primeiro octante

como acho os limites de integração?

Cálculo IUFSC

2 resposta(s) - Contém resposta de Especialista

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RD Resoluções Verified user icon

Há mais de um mês

Queremos resolver a seguinte integral:

\(I=\int\int\limits_D\int z\ dV\)

Vamos fazer a mudança de variáveis para coordenadas esféricas:

\(r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\\ z = r\cos\theta\)

De forma que ficamos com a região D determinada por:

\(1<r<3\\ 0<\theta<{\pi\over2}\\ 0<\varphi<{\pi\over2}\\\)

E com a integral:

\(I=\int_0^{\pi\over2}\int_0^{\pi\over2}\int_1^3 r\ cos\ \theta\ r^2sen\ \varphi drd\varphi d\theta\)

Separando somente os termos dependentes da variável mais interna, temos:

\(\begin{align} I&=\int_0^{\pi\over2}\int_0^{\pi\over2}cos\ \theta\ sen\ \varphi\int_1^3 r^3 drd\varphi d\theta\\ &=\int_0^{\pi\over2}\int_0^{\pi\over2}cos\ \theta\ sen\ \varphi\left[{r^4\over4}\right]_1^3 d\varphi d\theta\\ &=\int_0^{\pi\over2}\int_0^{\pi\over2}cos\ \theta\ sen\ \varphi\left[{3^4\over4}-{1^4\over4}\right] d\varphi d\theta\\ &=20\int_0^{\pi\over2}\int_0^{\pi\over2}cos\ \theta\ sen\ \varphi d\varphi d\theta\\ \end{align}\)

Separando somente os termos dependentes da variável mais interna, temos:

\(\begin{align} I&=20\int_0^{\pi\over2}\int_0^{\pi\over2}cos\ \theta\ sen\ \varphi d\varphi d\theta\\ &=20\int_0^{\pi\over2}cos\ \theta\int_0^{\pi\over2}\ sen\ \varphi d\varphi d\theta\\ &=20\int_0^{\pi\over2}cos\ \theta\left[-cos\ \varphi\right]_0^{\pi\over2} d\theta\\ &=20\int_0^{\pi\over2}cos\ \theta\left[-cos\ {\pi\over2}+cos\ 0\right] d\theta\\ &=20\int_0^{\pi\over2}cos\ \theta d\theta\\ \end{align}\)

Integrando na última variável, temos:

\(\begin{align} I&=20\int_0^{\pi\over2}cos\ \theta d\theta\\ &=20\left[sen\ \theta\right]_0^{\pi\over2}\\ &=20\left[sen\ {\pi\over2}-sen\ 0\right]\\ \end{align}\)

Temos, portanto, que a integral procurada é:

\(\boxed{I=20}\)

 

Queremos resolver a seguinte integral:

\(I=\int\int\limits_D\int z\ dV\)

Vamos fazer a mudança de variáveis para coordenadas esféricas:

\(r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\\ z = r\cos\theta\)

De forma que ficamos com a região D determinada por:

\(1<r<3\\ 0<\theta<{\pi\over2}\\ 0<\varphi<{\pi\over2}\\\)

E com a integral:

\(I=\int_0^{\pi\over2}\int_0^{\pi\over2}\int_1^3 r\ cos\ \theta\ r^2sen\ \varphi drd\varphi d\theta\)

Separando somente os termos dependentes da variável mais interna, temos:

\(\begin{align} I&=\int_0^{\pi\over2}\int_0^{\pi\over2}cos\ \theta\ sen\ \varphi\int_1^3 r^3 drd\varphi d\theta\\ &=\int_0^{\pi\over2}\int_0^{\pi\over2}cos\ \theta\ sen\ \varphi\left[{r^4\over4}\right]_1^3 d\varphi d\theta\\ &=\int_0^{\pi\over2}\int_0^{\pi\over2}cos\ \theta\ sen\ \varphi\left[{3^4\over4}-{1^4\over4}\right] d\varphi d\theta\\ &=20\int_0^{\pi\over2}\int_0^{\pi\over2}cos\ \theta\ sen\ \varphi d\varphi d\theta\\ \end{align}\)

Separando somente os termos dependentes da variável mais interna, temos:

\(\begin{align} I&=20\int_0^{\pi\over2}\int_0^{\pi\over2}cos\ \theta\ sen\ \varphi d\varphi d\theta\\ &=20\int_0^{\pi\over2}cos\ \theta\int_0^{\pi\over2}\ sen\ \varphi d\varphi d\theta\\ &=20\int_0^{\pi\over2}cos\ \theta\left[-cos\ \varphi\right]_0^{\pi\over2} d\theta\\ &=20\int_0^{\pi\over2}cos\ \theta\left[-cos\ {\pi\over2}+cos\ 0\right] d\theta\\ &=20\int_0^{\pi\over2}cos\ \theta d\theta\\ \end{align}\)

Integrando na última variável, temos:

\(\begin{align} I&=20\int_0^{\pi\over2}cos\ \theta d\theta\\ &=20\left[sen\ \theta\right]_0^{\pi\over2}\\ &=20\left[sen\ {\pi\over2}-sen\ 0\right]\\ \end{align}\)

Temos, portanto, que a integral procurada é:

\(\boxed{I=20}\)

 

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Denis

Há mais de um mês

Acredito que a melhor forma de resolver seja usando coordenadas esféricas.
Veja que E está contido entre duas esferas - uma de raio 3 e outra de raio 1 - e no primeiro octante. Gráficamente, seria algo parecido com essa imagem: http://i.imgur.com/pJ4Yng7.png (desculpe pela falta de habilidade artística...)

Dessa forma, fica fácil encontrar os limites.
 - Como E está entre duas esferas,  1 ≤ ρ ≤ 3;
 - Como E está no primeiro octante, 0 ≤ φ ≤ (π/2);
 - Como E está no primeiro octante, 0 ≤ θ ≤ (π/2).

 

A integral, então, poderá ser reescrita da seguinte forma:

∫(0→π/2)∫(0→π/2)∫(1→3) ρ cosφ ρ² sinφ dρ dφ dθ

(Integral de 0 a π/2, integral de 0 a π/2, integral de 1 a 3)


Espero ter ajudado!

Essa pergunta já foi respondida por um dos nossos especialistas