Encontre ∫ ∫ ∫ E zdV , onde E eh limitado por y2 +z2 = 9 e pelos plano x = 0, y = 3x e z = 0 no primeiro octante.

Para resolver essa integral tripla, podemos utilizar o Teorema de Green-Ostrogradsky. Primeiramente, vamos encontrar os limites de integração para cada variável: - Para x: como o plano é x = 0, temos que x varia de 0 a 3. - Para y: temos duas superfícies limitando E em relação a y, que são y = 3x e y² + z² = 9. Isolando y em cada equação, temos y = 3x e y = ±√(9 - z²). Como estamos no primeiro octante, temos que y varia de 0 a 3x e de 0 a √(9 - z²). - Para z: temos duas superfícies limitando E em relação a z, que são z = 0 e y² + z² = 9. Isolando z em cada equação, temos z = 0 e z = ±√(9 - y²). Como estamos no primeiro octante, temos que z varia de 0 a √(9 - y²). Agora, podemos escrever a integral tripla: ∫∫∫E zdV = ∫0³x ∫0^√(9-z²) ∫0^√(9-y²) z dy dz dx Resolvendo as integrais em ordem, temos: ∫0³x ∫0^√(9-z²) z(√(9-y²)) dy dz dx = ∫0³x z[∫0^√(9-z²) (√(9-y²)) dy] dz dx = ∫0³x z[(9/2)arcsen(y/3)]0^√(9-z²) dz dx = ∫0³x z[(9/2)arcsen(√(9-z²)/3)] dz dx = ∫0³x [(81/4)zarcsen(√(9-z²)/3) - (9/2)z²] dz = [(81/4)arcsen(√(9-z²)/3) - (3/2)z³]0^3 dx = [(81/4)arcsen(1) - 27/2] dx = (81/4)arcsen(1) - 27/2 Portanto, a resposta é (81/4)arcsen(1) - 27/2.