Um retˆangulo tem sua base apoiada no eixo x e seus dois v´ertices superiores na par´abola y = 12 − x 2 . Qual ´e a maior ´area que esse retˆangulo po

Note que o vértice da parábola é em x = 0, logo, é razoável pensarmos que os pontos da base no eixo x estejam a uma distância x de 0, e suas imagens são iguais a 12 - x².

A área é dada pela base x altura, onde a base mede 2x(x à esquerda e à direita, logo, 2x) e altura 12 - x².

A = 2x.(12 - x²)

A = 24x - 2x³.

Calculamos a derivada primeira de A:

A' = 24 - 6x², e igualamos a 0

x = +2 ou x = -2

Como queremos o ponto de máxima, pegamos x = 2, pois A''(2) < 0, ponto de máximo

Logo, tomemos x = 2 e x = -2 no eixo x e peguemos suas imagens. Esse retângulo tem a área máxima.

Para encontrarmos a área máxima que esse triângulo pode ter, realizaremos os cálculos abaixo:

\(\begin{align} & y=12-{{x}^{2}} \\ & A=xy \\ & A=x(12-{{x}^{2}}) \\ & A=12x-{{x}^{3}} \\ & \\ & A'=-3{{x}^{2}}+12 \\ & -3{{x}^{2}}+12=0 \\ & {{x}^{2}}=\frac{-12}{-3} \\ & x=\sqrt{4} \\ & x=2 \\ & \\ & y=12-{{x}^{2}} \\ & y=12-{{2}^{2}} \\ & y=8 \\ & \\ & {{A}_{m\acute{a}xima}}=xy \\ & {{A}_{m\acute{a}xima}}=2\cdot 8 \\ & {{A}_{m\acute{a}xima}}=16 \\ \end{align}\ \)

Portanto, a  área máxima do retângulo será  A=16.