um trabalhador leva em media 69 min para chegar ao trabalho. supondo uma distribuição normal com desvio de 6,2 min. qual a probabilidade de demorar:

X tem uma distribuição normal com média 69 e desvio padrão 6,2:

x~n(69;6,2)

a)de 50 a 82 minutos

P(50<x<82) -> vamos transformar os números 50 e 82 pra eles ficarem de acordo com os numeros da tabela normal padrão (X~n(0,1), pra isso vamos usar a seguinte formula: Z=X-m/ σ ( onde m é a média e σ é o desvio padrão)

P(50-69/6,2 < Z < 82-69/6,2)

P(-3,06 < Z < 2,09) -> agora vamos colocar esses valores na curva da normmal padrão 

desenhando a curva vamos ver que o valor de -3,06 até 0 é igual a 0,48169

e que o valor de a á 2,09 é igual a 0,48169 

então somando esses dois vamores temos: 0, 98058  

Para resolver este problema, devemos colocar em prática os conceitos sobre a distribuição normal de probabilidades. Neste contexto, utilizaremos a Tabela de Distribuição Normal, disponível em http://www.leg.ufpr.br/lib/exe/fetch.php/disciplinas:ss714:tabela-normal.pdf (acesso em 29 de maio 2018), que fornece os valores da probabilidade de \(P(Z \leq a)\), onde \(Z\) é uma variável aleatória normal padronizada e \(a\) é o limitante do intervalo. 

Para obter a variável normal padronizada, utiliza-se a fórmula abaixo:

\(Z=\dfrac{x-\mu}{\sigma},\)

em que \(x\) é a variável aleatória; \(\mu\) a média dos dados; e \(\sigma\) o desvio padrão.

No problema em questão, o procedimento de cálculo inicia-se pelo cálculo de \(Z\), isto é, normalizando os valores de nossas variáveis aleatóriais, \(x_1=50\) , \(x_2=82\), \(x_3=80\), \(x_4=70\) e \(x_5=85\). Assim:

\(\begin{align} Z_1&=\dfrac{50-69}{6,2} \\&=-3,06\end{align}\)

\(\begin{align} Z_2&=\dfrac{82-69}{6,2} \\&=2,10\end{align}\)

\(\begin{align} Z_3&=\dfrac{80-69}{6,2} \\&=1,77\end{align}\)

\(\begin{align} Z_4&=\dfrac{70-69}{6,2} \\&=0,16\end{align}\)

\(\begin{align} Z_5&=\dfrac{85-69}{6,2} \\&=2,58\end{align}\)

Além disso, faz-se necessário lembrar da seguinte propriedade:

\(P(Z<-z)=P(z>1)\)

a)

\(\begin{align} P(50\text{ min}<x<82 \text{ min})&=P(-3,06<Z<2,10) \\&=P(Z<2,10)-P(Z<-3,06) \\&=0,9821-0,01 \\&=0,9711 \\&=97,11\text{ %} \end{align}\)

Portanto, a probabilidade do trabalhador demorar de \(50\) a \(82\) minutos para chegar ao trabalho é igual a \(\boxed{97,11\text{ %}}\).

b)

\(\begin{align} P(x>80 \text{ min})&=P(Z>1,77) \\&=P(Z<-1,77) \\&=0,0384 \\&=3,84\text{ %} \end{align}\)

Logo, a probabilidade do trabalhador demorar mais de \(80\) minutos para chegar ao trabalho é igual a \(\boxed{3,84\text{ %}}\).

c)

\(\begin{align} P(70\text{ min}<x<85 \text{ min})&=P(0,16<Z<2,58) \\&=P(Z<2,58)-P(Z<0,16) \\&=0,9951-0,5636 \\&=0,4315 \\&=43,15\text{ %} \end{align}\)

Portanto, a probabilidade do trabalhador demorar de \(70\) a \(85\) minutos para chegar ao trabalho é igual a \(\boxed{43,15\text{ %}}\).