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Ajuda em Probabilidade

A cada semestre uma universidade avalia seus estudantes em um exame. Neste exame, as notas variam de 1 a 5 e servem para que a universidade possa utilizar as notas como um critério à distribuição de bolsas de estudo aos alunos com notas iguais ou superiores a 3. A distribuição de probabilidades na tabela mostra os resultados do exame de 2015.

NOTAS

1

2

3

4

5

P(X=x)

0,214

0,197

0,241

0,224

0,124

 

 

 

 

 

 

Responder:

1)Qual é a probabilidade que um aluno, selecionado aleatoriamente, obtenha um escore de no mínimo 3.
2)Qual é a média (valor esperado) e o desvio padrão das notas apresentadas em 2015.

* A primeira consegui fazer e está correta. O resultado é aprox. 60%
* A segunda tenho a resposta final, mas não consigo desenvolver.

 

Probabilidade IESTÁCIO

2 resposta(s) - Contém resposta de Especialista

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RD Resoluções Verified user icon

Há mais de um mês

No cálculo da função binomial, o que nos leva a algumas dificuldades, pois, como podemos analisar, para $ n $ muito grande e $ p $pequeno, fica relativamente difícil calcularmos a probabilidade de $ k $ sucessos a partir do modelo binomial, isto é, utilizando a função de probabilidade, temos:

\[p(k)=\mathbb{P}(X=k)=\left(\begin{array}{c}n\\k\end{array}\right)p^k(1-p)^{n-k}.\]  

Observamos que podemos reescrever a expressão acima da seguinte forma:

\[\mathbb{P}(X=k)=\frac{n!}{k!(n-k)!}p^k\frac{n^k}{n^k}\left(1-\frac{np}{n}\right)^{n-k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}\frac{(np)^k}{n^k}\left(1-\frac{np}{n}\right)^{n-k}\]  

e, tomando $ \lambda = np $, segue que

\[\mathbb{P}(X = k)=\frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!}\frac{\lambda^k}{n^k}\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{n-k}=\frac{\lambda^k}{k!}1\left(1-\frac{1}{n}\right)\dots\left(1-\frac{k-1}{n}\right)\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{n-k}.\]  

Se tomarmos o limite quando $ n\rightarrow \infty $, obtemos que

\[\lim_{n\rightarrow \infty}1\left(1-\frac{1}{n}\right)\dots\left(1-\frac{k-1}{n}\right)=1\]  

e

\[\lim_{n\rightarrow \infty}\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{n-k}=\lim_{n\rightarrow \infty}\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{n}=e^{-\lambda}\]

No cálculo da função binomial, o que nos leva a algumas dificuldades, pois, como podemos analisar, para $ n $ muito grande e $ p $pequeno, fica relativamente difícil calcularmos a probabilidade de $ k $ sucessos a partir do modelo binomial, isto é, utilizando a função de probabilidade, temos:

\[p(k)=\mathbb{P}(X=k)=\left(\begin{array}{c}n\\k\end{array}\right)p^k(1-p)^{n-k}.\]  

Observamos que podemos reescrever a expressão acima da seguinte forma:

\[\mathbb{P}(X=k)=\frac{n!}{k!(n-k)!}p^k\frac{n^k}{n^k}\left(1-\frac{np}{n}\right)^{n-k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}\frac{(np)^k}{n^k}\left(1-\frac{np}{n}\right)^{n-k}\]  

e, tomando $ \lambda = np $, segue que

\[\mathbb{P}(X = k)=\frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!}\frac{\lambda^k}{n^k}\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{n-k}=\frac{\lambda^k}{k!}1\left(1-\frac{1}{n}\right)\dots\left(1-\frac{k-1}{n}\right)\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{n-k}.\]  

Se tomarmos o limite quando $ n\rightarrow \infty $, obtemos que

\[\lim_{n\rightarrow \infty}1\left(1-\frac{1}{n}\right)\dots\left(1-\frac{k-1}{n}\right)=1\]  

e

\[\lim_{n\rightarrow \infty}\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{n-k}=\lim_{n\rightarrow \infty}\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{n}=e^{-\lambda}\]
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Tata

Há mais de um mês

b) a média é = 0,20 e o desvio padrão é a raíz da variância

Essa pergunta já foi respondida por um dos nossos especialistas