Se P(x,y,z) é um ponto arbitrário de C,então queremos determinar o maior e o menor valor de d(O,P) = √(x² + y² + z²). 
Podemos obter esses valores determinando os ternos(x,y,z) 
que dão os extremos do radicando 

f ( x, y , z ) = x² + y² + z² sujeito a dois vínculos 

g(x,y,z) = x² + y² + 2z - 16 = 0 

h(x,y,z) = x + y - 4 = 0 

V(x² + y² + z² ) = λV(x² + y² + 2z - 16 ) + μV(x + y - 4 ) 

2xi + 2yj + 2zk = λ(2xi + 2yj + 2k) + μ(i + j ) 

= (2xλ + μ ) i + ( 2yλ + μ )j + (2λ)k 

chegando em um sistema de cinco equações 

2x = 2xλ + μ (i) 
2y = 2yλ + μ (ii) 
2z = 2λ (iii) 
x² + y² + 2z - 16 = 0 (iv) 
x + y - 4 = 0(v) 

(ii) - (i) 

2x - 2y = (2xλ + μ) - ( 2yλ + μ ) = 2xλ - 2yλ 
2( x - y ) - 2λ( x - y ) = 0 
2( x - y )(1 - λ ) = 0 

λ = 1 ou x = y 

se λ = 1 
2z = 2λ = 2(1) ou z = 1 
substituindo no 1º vínculo dá x² + y² - 14 = 0 e resolvendo simutaneamente com x + y - 4 = 0 

x = 2 + √3, y = 2 -√3 ou x = 2 -√3 , y = 2 + √3 

assim os pontos 

P₁ (2 + √3, 2 -√3) e P₂(2 -√3, 2 + √3) 

as distâncias 

d(O,P₁) = √15 = d(O,P₂) 

se x = y dá P₃(2,2,4) e d(OP₃) = 2√6