o Trapézio ABCD tem bases AB e CD. O lado DA mede x e o lado BC 2x. soma de DÂB E ABĈ É 120. CALCULE DÂB JUSTIFIQUE.

Então, vamos começar por dividir o trapézio em dois triângulos utilizando uma reta paralela a CD partindo dos pontos C e D, respectivamente. Além das duas retas terem o mesmo tamanho, por serem a altura do trapézio, forma dois triângulos retângulos, já que a altura é perpendicular a AB. 

Então, vamos lá. Um triângulo possui hipotenusa x e carteto oposto a DÃB (chamarei o angulo de A)= h, enquanto o outro possui hipotenusa 2x e carteto oposto a A~BC (chamarei o angulo de B)= h. Logo:
sen(A) = h/x  ---> h = sen(A)*x
sen(B) = h/2x   ---> h = sen(B)*2x

Juntando as duas, temos: sen(A)*x = sen(B)*2x , cortando x ---> sen(A) = 2*sen(B). Porém, sabemos que A + B = 120, logo A = 120 - B. Então:

sen(120-B) = 2*sen(B). Aplicando a fórmula da diferença de senos, temos:

sen(120)*cos(B) - sen(B)*cos(120) = 2*sen(B). 120 está no 2o quadrante, logo equivale a 180 - x = 120, x = 180-120 = 60, então 120 no 1o quadrante equivale a 60. No 2o quadrante, seno é positivo e cosseno negativo, então:

sen(60)*cos(B) - sen(B)*(-cos(60)) = 2*sen(B). Como sen60 =  v3  / 2 e cos60 = 1/2:

 v3  /2 * cos(B) - sen(B) * (-1/2) = 2*sen(B) ---> v3 * cos(B) / 2 + sen(B) / 2 = 2*sen(B) ---> ( v3*cos(B) + sen(B)) / 2 = 2*sen(B) ---> v3 * cos(B) + sen(B) = 4*sen(B)

Isolando sen(B) ---> 4*sen(B) - sen(B) = v3 * cos(B) ---> 3*sen(B) = v3 * cos(B). Elevando os dois lados ao quadrado, temos:

3*cos²(B) = 9*sen²(B) ---> cos²(B) = 3*sen²(B).

Como sen² + cos² = 1 ---> cos² = 1 - sen². Substituindo:

1 - sen²(B) = 3*sen²(B) ---> 4*sen²(B) = 1 ---> sen²(B) = 1/4 ---> sen(B) = 1/v4 ----> sen(B) = 1/2. Como sen(30) = 1/2, então B = 30. Como A + B = 120, A = 120-30 = 90.

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