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Um reservatório cônico Z=√X^2+y^2 de altura h=4 vai ser reformado para um formato paraboloide: Z=X^2+y^2 de mesma altura... Qual o decrescimento?

Cálculo III

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Vamos determinar o decrescimento do volume ao transformar um reservatório cônico em um reservatório parabolóide de mesma altura \(h=4\). Utilizaremos coordenadas cilíndricas e começaremos por calcular o volume do reservatório cônico definido por:

\(z=\sqrt{x^2+y^2}=\rho\)

Para o volume, temos:

\(V_c = \int_0^4\pi \rho^2dz= \int_0^4\pi z^2dz={\pi 4^3\over3}={64\pi\over3}\)

Para o reservatório parabolóide, temos:

\(z={x^2+y^2}=\rho^2\)

Para o volume, temos:

\(V_p = \int_0^4\pi \rho^2dz= \int_0^4\pi zdz={\pi 4^2\over2}=8\pi\)

Para a variação relativa do volume, temos:

\(r = {V_p-V_c\over V_c}={8\pi\over {64\pi\over3}}-1\Rightarrow\boxed{r=-{5\over8}}\)

Vamos determinar o decrescimento do volume ao transformar um reservatório cônico em um reservatório parabolóide de mesma altura \(h=4\). Utilizaremos coordenadas cilíndricas e começaremos por calcular o volume do reservatório cônico definido por:

\(z=\sqrt{x^2+y^2}=\rho\)

Para o volume, temos:

\(V_c = \int_0^4\pi \rho^2dz= \int_0^4\pi z^2dz={\pi 4^3\over3}={64\pi\over3}\)

Para o reservatório parabolóide, temos:

\(z={x^2+y^2}=\rho^2\)

Para o volume, temos:

\(V_p = \int_0^4\pi \rho^2dz= \int_0^4\pi zdz={\pi 4^2\over2}=8\pi\)

Para a variação relativa do volume, temos:

\(r = {V_p-V_c\over V_c}={8\pi\over {64\pi\over3}}-1\Rightarrow\boxed{r=-{5\over8}}\)

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