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Seja E a região limitada pelos paraboloides z=x^2+y^2 e z=36 -3x^2 -3y2

Seja E a região limitada pelos paraboloides z=x2+y2 e z=36 -3x2 -3y2

Ache o volume da região E. 

Encontre o centroide de E (centro de massa no caso em que a densidade é constante).

Cálculo III

Engenharias


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Ricardo Proba Verified user icon

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1) Volume da região E:

Limites de z:

-> x^2 + y^2 ≤ z ≤ 36 - 3x^2 - 3y^2

Portanto, a integral do volume V fica da seguinte forma:

-> V = ∫∫∫ dV

-> V = ∫∫∫ dz dA

-> V = ∫∫ (z) dA

-> V = ∫∫ [ 36 - 3x^2 - 3y^2 - (x^2 + y^2) ] dA

-> V = ∫∫ [ 36 - 3(x^2 + y^2) - (x^2 + y^2) ] dA

-> V = ∫∫ [ 36 - 4(x^2 + y^2) ] dA

Limites de x e y: interseção de z = x^2 + y^2 e z = 36 - 3x^2 - 3y^2

-> x^2 + y^2 = 36 - 3x^2 - 3y^2

-> x^2 + y^2 + 3x^2 + 3y^2 = 36

-> 4x^2 + 4y^2 = 36

-> x^2 + y^2 = 9

O limite de x e y é um círculo x^2 + y^2 = 3^2 = 9. Aplicando coordenadas polares, tem-se x^2 + y^2 = r^2, 0 ≤ r ≤ 3, 0 ≤ θ ≤ 2π e dA = r dr dθ. Substituindo em V:

-> V = ∫∫ [ 36 - 4(x^2 + y^2) ] dA

-> V = ∫∫ [ 36 - 4r^2 ] r dr dθ

Pela substituição u = 36 - 4r^2, tem-se du = -8r dr. Substituindo:

-> V = 1/8 ∫∫ [ 36 - 4r^2 ] 8r dr dθ

-> V = -1/8 ∫∫ [ u ] du dθ

-> V = -1/8 ∫ dθ ∫ [ u ] du

-> V = -1/8 ∫ dθ (u^2/2)

-> V = -1/8 (θ) (36 - 4r^2)^2/2

-> V = -1/16 (θ) (36 - 4r^2)^2

Com 0 ≤ r ≤ 3 e 0 ≤ θ ≤ 2π, o valor de V é:

-> V = -1/16 (2π - 0) [ (36 - 4*3^2)^2 - (36 - 4*0^2)^2 ]

-> V = -2π/16 [ (36 - 36)^2 - (36 - 0)^2 ]

-> V = -π/8 [ (0)^2 - (36)^2 ]

-> V = -π/8 [ - (36)^2 ]

-> V = π/8 [ 1296 ]

-> V = 162π


2) Centro de massa de E (densidade constante):

Se a densidade de E é constante, tem-se ρ(x,y) = K, com K constante. Então, a massa m é:

-> m = ∫∫ ρ(x,y) dA

-> m = K ∫∫ dA

-> m = K ∫∫ r dr dθ

-> m = K (r^2/2) (θ)

-> m = K (3^2/2 - 0^2/2) (2π - 0)

-> m = K (9/2 - 0) (2π)

-> m = 9πK

Portanto, a coordenada xc do centro de massa é:

-> xc = 1/m ∫∫ xρ(x,y) dA

-> xc = K/m ∫∫ x dA

-> xc = K/m ∫∫ r cosθ dr dθ

-> xc = K/m ∫ r dr ∫ cosθ dθ

-> xc = K/m (r^2/2) (senθ)

-> xc = K/m (3^2/2 - 0^2/2) (sen2π - sen0)

-> xc = K/m (9/2 - 0) (0 - 0)

-> xc = K/m (9/2) (0)

-> xc = 0

E a coordenada yc do centro de massa é:

-> yc = 1/m ∫∫ yρ(x,y) dA

-> yc = K/m ∫∫ y dA

-> yc = K/m ∫∫ r senθ dr dθ

-> yc = K/m ∫ r dr ∫ senθ dθ

-> yc = K/m (r^2/2) (-cosθ)

-> yc = K/m (3^2/2 - 0^2/2) (-cos2π + cos0)

-> yc = K/m (9/2 - 0) (-1 + 1)

-> yc = K/m (9/2) (0)

-> yc = 0

Portanto, o centro de massa de E é:

-> (xc,yc) = (0,0)

Se gostou, dá um joinha!

1) Volume da região E:

Limites de z:

-> x^2 + y^2 ≤ z ≤ 36 - 3x^2 - 3y^2

Portanto, a integral do volume V fica da seguinte forma:

-> V = ∫∫∫ dV

-> V = ∫∫∫ dz dA

-> V = ∫∫ (z) dA

-> V = ∫∫ [ 36 - 3x^2 - 3y^2 - (x^2 + y^2) ] dA

-> V = ∫∫ [ 36 - 3(x^2 + y^2) - (x^2 + y^2) ] dA

-> V = ∫∫ [ 36 - 4(x^2 + y^2) ] dA

Limites de x e y: interseção de z = x^2 + y^2 e z = 36 - 3x^2 - 3y^2

-> x^2 + y^2 = 36 - 3x^2 - 3y^2

-> x^2 + y^2 + 3x^2 + 3y^2 = 36

-> 4x^2 + 4y^2 = 36

-> x^2 + y^2 = 9

O limite de x e y é um círculo x^2 + y^2 = 3^2 = 9. Aplicando coordenadas polares, tem-se x^2 + y^2 = r^2, 0 ≤ r ≤ 3, 0 ≤ θ ≤ 2π e dA = r dr dθ. Substituindo em V:

-> V = ∫∫ [ 36 - 4(x^2 + y^2) ] dA

-> V = ∫∫ [ 36 - 4r^2 ] r dr dθ

Pela substituição u = 36 - 4r^2, tem-se du = -8r dr. Substituindo:

-> V = 1/8 ∫∫ [ 36 - 4r^2 ] 8r dr dθ

-> V = -1/8 ∫∫ [ u ] du dθ

-> V = -1/8 ∫ dθ ∫ [ u ] du

-> V = -1/8 ∫ dθ (u^2/2)

-> V = -1/8 (θ) (36 - 4r^2)^2/2

-> V = -1/16 (θ) (36 - 4r^2)^2

Com 0 ≤ r ≤ 3 e 0 ≤ θ ≤ 2π, o valor de V é:

-> V = -1/16 (2π - 0) [ (36 - 4*3^2)^2 - (36 - 4*0^2)^2 ]

-> V = -2π/16 [ (36 - 36)^2 - (36 - 0)^2 ]

-> V = -π/8 [ (0)^2 - (36)^2 ]

-> V = -π/8 [ - (36)^2 ]

-> V = π/8 [ 1296 ]

-> V = 162π


2) Centro de massa de E (densidade constante):

Se a densidade de E é constante, tem-se ρ(x,y) = K, com K constante. Então, a massa m é:

-> m = ∫∫ ρ(x,y) dA

-> m = K ∫∫ dA

-> m = K ∫∫ r dr dθ

-> m = K (r^2/2) (θ)

-> m = K (3^2/2 - 0^2/2) (2π - 0)

-> m = K (9/2 - 0) (2π)

-> m = 9πK

Portanto, a coordenada xc do centro de massa é:

-> xc = 1/m ∫∫ xρ(x,y) dA

-> xc = K/m ∫∫ x dA

-> xc = K/m ∫∫ r cosθ dr dθ

-> xc = K/m ∫ r dr ∫ cosθ dθ

-> xc = K/m (r^2/2) (senθ)

-> xc = K/m (3^2/2 - 0^2/2) (sen2π - sen0)

-> xc = K/m (9/2 - 0) (0 - 0)

-> xc = K/m (9/2) (0)

-> xc = 0

E a coordenada yc do centro de massa é:

-> yc = 1/m ∫∫ yρ(x,y) dA

-> yc = K/m ∫∫ y dA

-> yc = K/m ∫∫ r senθ dr dθ

-> yc = K/m ∫ r dr ∫ senθ dθ

-> yc = K/m (r^2/2) (-cosθ)

-> yc = K/m (3^2/2 - 0^2/2) (-cos2π + cos0)

-> yc = K/m (9/2 - 0) (-1 + 1)

-> yc = K/m (9/2) (0)

-> yc = 0

Portanto, o centro de massa de E é:

-> (xc,yc) = (0,0)

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