Equação canônica da elipse com centro na origem, eixo focal sobre o eixo x, que passa pelo ponto A= (2raiz de 2, 1) e de excentricidade 1/raiz de 2

a questão fala que o eixo focal está sobre o eixo X, então a equação canônica será: x²/a² + y²/b² = 1;

a excentricidade é dada como c/a = 1/√2 --> c = a/√2;

a elipse passa pelo ponto A = (2√2, 1), então substituindo esses pontos na equação temos:

(2√2)²/a² + 1²/b² = 1

8/a² + 1/b² = 1

8b² + a² = a²b²

a² = b²(a² - 8)

b² = a²/(a² - 8);

pela propriedade que afirma que a² = b² + c², podemos substituir as expressões;

a² = a²/(a² - 8) + a²/2

2a²(a² - 8) = 2a² + a²(a² - 8)

2a^4 - 16a² = -6a² + a^4

a^4 - 10a² = 0

para resolver essa equação biquadrada, usamos t = a²;

t² - 10t = 0

t(t - 0) = 0

t = 0 ou t = 10;

a² = 10, visto que não pode ser 0;

ja temos o "a", achamos o "b" por essa expressão que encontramos no começo: b² = a²/(a² - 8);

b² = 10/10 - 8 = 5

por fim, a equação canônica da elipse é:

x²/10 + y²/5 = 1

Primeiramente vamos encontrar a expressão B em função de A:

\((2√2)²/a² + 1²/b² = 1 \\ 8/a² + 1/b² = 1 \\ 8b² + a² = a²b² \\ a² = b²(a² - 8) \\ b² = a²/(a² - 8)\)

Encontraremos agora a equação em A:

\(a² = a²/(a² - 8) + a²/2 \\ 2a²(a² - 8) = 2a² + a²(a² - 8) \\ 2a^4 - 16a² = -6a² + a^4 \\ a^4 - 10a² = 0\)

Encontraremos agora o valor de B e A:

\(b² = 10/10 - 8 \\ b²= 5 \\ a²=10\)

Portanto, com os dados acima, concluimos que a equação da elipse será \(\boxed{\frac{{{x^2}}}{{10}} + \frac{{{y^2}}}{5} = 1}\).