Queremos saber a altura de uma árvore BE cujo ápice visamos de dois pontos A e D, distanciados entre si de 45,60 m

Nesta questão, devemos aplicar nossos conhecimentos de Topografia, e, principalmente, conceitos de geometria.

A princípio, para facilitar a visualização, o problema que estamos resolvendo pode ser assim representado:

Imagem 1 - Representação do problema. Adaptado de: https://engcivil20142.files.wordpress.com/2017/03/aula-2-revisc3a3o-matemc3a1tica.pdf. Acesso em 12 de Julho de 2018.

Foquemos no triângulo A'E'B:

Imagem 2 - Triângulo A'E'B. Fonte: elaborada pelo autor.

Temos que, pela soma dos ângulos internos do triângulo ser igual a $180^{\circ}$:

\(\alpha + 90º + \hat{B} = 180º \Rightarrow \hat{B} = 90º - \alpha \Rightarrow \hat{B} = 90º - 48º20'00'' \Rightarrow \hat{B}=41^{\circ}40'00''\).

Agora, voltemos nossa atenção ao triângulo D'E'B:

Imagem 3 - Triângulo D'E'B. Fonte: elaborada pelo autor.

Temos que, pela soma dos ângulos internos do triângulo ser igual a $180^{\circ}$:

\(\beta + 90º + \hat{B'} = 180º \Rightarrow \hat{B'} = 90º - \beta \Rightarrow \hat{B} = 90º - 57^{\circ}25'10'' \Rightarrow \hat{B'}=32^{\circ}34'50''\).

Agora, vamos reparar os ângulos no ponto B da figura:

Imagem 4 - Figura e ângulos no ponto B. Fonte: elaborada pelo autor.

Temos que \(\hat{B} = \hat{B'} + \hat{B''} \Rightarrow \hat{B''} = \hat{B} - \hat{B'} = 41º40'00'' - 32º34'50' \Rightarrow \hat{B''} = 9º05'10''\).

No triângulo A'D'B. Temos:

Imagem 5 - Triângulo A'D'B. Fonte: elaborada pelo autor.

Temos que

\(\dfrac{D'B}{\sin \alpha} = \dfrac{45,60m}{\sin \hat{B''}} \Rightarrow \dfrac{D'B}{\sin 48º20'00''} = \dfrac{45,60m}{\sin 9º05'10''} \Rightarrow D'B \approx 215,7081m\).

Agora, reparemos no triângulo D'E'B:

Imagem 6 - Triângulo D'E'B. Fonte: elaborada pelo autor.

Temos que\(\sin \beta = \dfrac{\text{Cateto Oposto}}{\text{Hipotenusa}} = \dfrac{E'B}{D'B} \Rightarrow E'B = \sin \beta * D'B \approx \sin 57º25'10''*215,7081 \approx 181,76m\).

Por fim, lembremos que a altura da arvore é este valor mais a altura do teodolito, ou seja, $E'B + 1,60m \approx 183,3632m$.

Portanto, a altura da árvore é, aproximadamente, $183,36$ metros.