Achar um vetor paralelo ao vetor a = (3,-1,2) que tenha o mesmo módulo do vetor b = i+2j?

A resolução se dará em 3 passos:

1 - Encontrar o módulo de b;

2 - Determinar o vetor paralelo a a, e seu módulo;

3 - Igualar os módulos de b e do vetor paralelo a a.

Passo 1

b = i + 2j    =>   b = (1,2,0)

llbll = √(1²+2²)    

llbll = √5

Passo 2

Por definição, sabemos que um vetor, paralelo ou colinear a outro, possuirá um escalar com uma constante k como forma de demonstrar a relação de colinearidade ou paralelismo, ou seja, u = k.v .

Dessa forma, temos que: 

c = k.a

c = k.(3,-1,2)

c = (3k, -k, 2k)

llcll = √(3k)²+(-k)²+(2k)²

llcll = √9k²+k²+4k²

llcll = √14k²

Passo 3

Aqui igualaremos os módulos de b e c, como forma de encontrar o valor de k, e posteriormente substituir no vetor c, para encontrar suas componentes vetoriais reais.

llbll = llcll

√5 = √14k²

(√5)² = (√14k²)²

5 = 14k²

k² = 5/14

k = √0,3576

k = 0,6   (arredondando)

Substituindo k em c = k.a, para obtenção do vetor paralelo a a:

c = 0,6.(3,-1,2)

c = (1,8; -0,6; 1,2)

Seja \(u= (a,b,c)\) um vetor. Sua norma, ou módulo é dado por :

\(|u|=\sqrt{a^2+b^2+c^2}\)

Assim, o módulo do vetor \(b=i+2j= (1,2)\) é

\(|b|=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}\)

Para que dois vetores sejam paralelos, suas coordenadas correspondentes devem ser proporcionais, ou seja:

\(\frac{x1}{x2}=\frac{y1}{y2}=\frac{z1}{z2}\)

Assim, seja \(u= (a,b,c)\) o nosso vetor desconhecido. Temos então:

\(x1=3\\ x2=a\\ y1=-1\\ y2=b\\ z1=2\\ z2= c\\\)

Fazendo a proporção entre \(x\) e \(y\), temos:

\(\frac{3}a=\frac{-1}b\\ 3b=-a\)

\(b=-a/3  \)     equação \(1\)

Fazendo a proporção entre \(x\) e \(z\), temos:

 \(\frac{3}a=\frac{2}c\\  3c=2a\)

\(c=\frac{2a}3\)     equação \(2\)

O módulo do nosso vetor desconhecido é:

\(|u|=\sqrt{a^2+b^2+c^2}\)

\(\sqrt5=\sqrt{a^2+b^2+c^2}\)

Substituindo a equação \(1\) e \(2\) na equação acima;

\(\sqrt5=\sqrt{a^2+(-1/3)^2+(2a/3)^2}\)

\(\sqrt5=\sqrt{a^2+(a^2/9)+(4a^2/9)}\)

\(\sqrt{14a^2/9}=\sqrt5\)

\(14a^2/9=5-->a^2=45/14-->a=\sqrt{45/14}\)

Assim:

\(c=2a/3 \)

\(c=\frac{2.\sqrt{45/14}}{3}\)

\(b=-a/3 \)

\(b=\frac{-\sqrt{45/14}}{3}\)

Portanto, o vetor procurado é :

\(\boxed{u=(\sqrt{\frac{45}{14}};\frac{\sqrt{\frac{45}{14}}}3;2\frac{\sqrt{\frac{45}{14}}}3)}\)