Velocidade média escalar

Percurso total 140 Km em 3horas

Se os primeiros 40 Km forem feitos em 40 Km/h, então, 

aumentando a velocidade média em 10 Km/h, se fará o

segundo trecho de 100 Km em 2hrs à velocidade média

de 50Km/h

Para resolver este problema, devemos colocar em prática nosso conhecimento sobre velocidade média escalar. Em especial, faremos uso da seguinte equação:

\(v_m=\dfrac{\Delta S}{\Delta t},\)

em que \(v_m\) é a velocidade escalar média; \(\Delta S\) a variação de espaço; e \(\Delta t\) a variação de tempo.

Denominando os trechos de \(1\) e \(2\), e isolando a variação de tempo na equação dada, tem-se que:

\(\begin{align} \Delta t_1&= \dfrac{\Delta S_1}{v_1} \\&=\dfrac{40\text{ km}}{v_1} \end{align}\)

\(\begin{align} \Delta t_2&= \dfrac{\Delta S_2}{v_2} \\&=\dfrac{140\text{ km}- 40 \text{ km}}{v_2} \\&=\dfrac{100\text{ km}}{v_1+10 \frac{\text m}{\text s}} \end{align}\)

Contudo, sabe-se ainda que \(\Delta t_1+\Delta t_2=3\text{ h}\). Relacionando as expressões, resulta que:

\(\begin{align} \dfrac{40}{v_1}+\dfrac{100}{{v_1+10 }}=3 \end{align} \)

Multiplicando ambos os lados por \(v_1\cdot(v_1+10)\), obtém-se que:

\(40\cdot (v_1+10)+100\cdot v_1=3\cdot v_1^2 +30\cdot v_1\)

Simplificando, encontra-se a seguinte equação de segundo grau:

\(3\cdot v_1^2 -110\cdot v_1 -400 = 0\)

Resolvendo:

\(\begin{align} v_1 &= {-(-110) \pm \sqrt{(-110)^2-4\cdot 3\cdot(-400)} \over 2\cdot3} \\&=\dfrac{110\pm130}{6} \end{align}\)

Assim, a solução positiva é \(v_1=40 \frac{\text m}{\text s}\) e, com tal informação, calcula-se a velocidade no segundo trecho do percurso:

\(\begin{align} v_2&=v_1+10 \\&=40+10 \\&=50 \frac{\text m}{\text s} \end{align}\)

Portanto, a velocidade no segundo trecho do percurso é de \(\boxed{50 \frac{\text m}{\text s}}\).

Analizemos a primeira parte do percurso:

Ele percurreu 40Km com uma velocidade V e um tempo T, logo:

V = (Delta X) / (Delta T)

V = 40 / T

T = 40 / V

Logo o tempo restante para vc percorrer os 100Km restante é:

T' = 3 - T

T' = 3 - 40/V

T' = (3V - 40)/V

A velocidade V' no restante do percurso supera a anterior em 10km/h, ou seja a nova velocidade sera V' = V + 10, temos que:

V' = 100 / T'

Mas T' = (3V - 40)/V, logo:

V' = 100 / (3V - 40)/V

Porém V' = V + 10; temos então que:

V + 10 = 100 / (3V - 40)/V

V + 10 = 100V / 3V - 40

3V² - 110V - 400 = 0

Resolvendo a Equação do Segundo Grau Encontramos:

V = 40 e V = -3,333...

Logo V = 40Km\h e V = 50Km\h

Ou seja os primeiros 40Km ele percorreu com uma velocidade de 40 km\h e  os 100Km restante á 50Km\h!

segundos atrás