Exercício de Integral. Por favor alguém sabe calcular essa integral e me explicar o passo a passo

Neste exercício, será calculada a integral definida \(\int_0^{\pi/2} e^x \cos x \space dx\). Para isso, será utilizado o método de integração por partes apresentado pela seguinte expressão:

\(\Longrightarrow \int u \space dv=uv-\int v \space du\)

Considerando \(u_1=e^x\) e \(dv_1=\cos x \space dx\), temos que:

\(\Longrightarrow {du_1 \over dx}=e^x \space \rightarrow du_1=e^xdx\)    

\(\Longrightarrow {dv_1 \over dx}=\cos x \space \rightarrow v_1=\sin x\)   

Substituindo os termos conhecidos em \(\int u_1 \space dv_1=u_1v_1-\int v_1 \space du_1\), a equação resultante é:

\(\Longrightarrow \int e^x \cos x\space dx=e^x\sin x-\int e^x \sin x \space dx\)    \((I)\)

Agora, será analisada o último termo da equação, ou seja, \(\int e^x \sin x \space dx\). Considerando \(u_2=e^x\) e \(dv_2=\sin x \space dx\), temos que:

\(\Longrightarrow {du_2 \over dx}=e^x \space \rightarrow du_2=e^xdx\)

\(\Longrightarrow {dv_2 \over dx}=\sin x \space \rightarrow v_2=-\cos x\)

Substituindo os termos conhecidos em \(\int u_2 \space dv_2=u_2v_2-\int v_2 \space du_2\), a equação resultante é:

\(\Longrightarrow \int e^x \sin x\space dx=-e^x \cos x-\int -\cos x \cdot e^x\space dx\)

\(\Longrightarrow \int e^x \sin x\space dx=-e^x \cos x+\int e^x\cos x\space dx\)   \((II)\)

Substituindo a equação \((II)\) na equação \((I)\), a equação resultante é:

\(\Longrightarrow \int e^x \cos x\space dx=e^x\sin x-\color{Red} {\int e^x \sin x \space dx}\)    \((I)\)

\(\Longrightarrow \int e^x \cos x\space dx=e^x\sin x-\color{Red} {(-e^x \cos x+\int e^x\cos x\space dx)}\)

\(\Longrightarrow \int e^x \cos x\space dx=e^x\sin x+e^x \cos x-\int e^x\cos x\space dx\)

\(\Longrightarrow 2\int e^x \cos x\space dx=e^x\sin x+e^x \cos x\)

\(\Longrightarrow \int e^x \cos x\space dx={1 \over 2}e^x(\sin x+\cos x)\)

Agora que a intergral foi realizada, será calculado o valor da integral para o intervalo \(0\le x \le {\pi \over 2}\).

\(\Longrightarrow \int_0^{\pi/2} e^x \cos x\space dx={1 \over 2}[e^x(\sin x+ \cos x)]|_0^{\pi/2}\)

\(\Longrightarrow \int_0^{\pi/2} e^x \cos x\space dx={1 \over 2}[e^{\pi/2}(\sin {\pi/2}+\cos {\pi/2})-e^0(\sin 0+\cos 0)]\)

\(\Longrightarrow \int_0^{\pi/2} e^x \cos x\space dx={1 \over 2}[e^{\pi/2}(1+0)-1(0+1)]\)

\(\Longrightarrow \int_0^{\pi/2} e^x \cos x\space dx={1 \over 2}[e^{\pi/2}-1]\)

Concluindo, para o intervalo \(0\le x \le {\pi \over 2}\), o valor da integral definida \(\int_0^{\pi/2} e^x \cos x \space dx\) é:

\(\Longrightarrow \fbox{$ {1 \over 2}[e^{\pi/2}-1]$}\)