(FACCEBA) o produto das soluções da equação 9^(x-4)(x-2)=729

sabendo que é igualdade e que 729 é igual a 9 elevado a 3, tem-se:

9^(x-4)(x-2) = 9^3

pode-se "cortar" o nove, o que resulta em:

(x-4)(x-2) = 3

através da propriedade distributiva, vem:

x²-2x-4x+8=3

x²-6x+8-3=0

x²-6x+5=0

Através da aplicação da fórmula de Bhaskara, obtém-se:

Δ=36-4.1.5 = 36 - 20 = 16

O que nos faz encontrar queas soluções são:

x1= (-(-6)+√16)/2.1 = (6+4)/2 = 5

x2= (-(-6)-√16)/2.1 = (6-4)/2 = 1

Logo, o produto entre as soluções é 5.1  = 5 :)

Para interpretar melhor a pergunta é necessário observar que trata-se de uma equação exponencial, assim precisaremos trabalhar com os expoentes da equação. Para isso, precisamos igualar as bases, ou seja, escrever 729 como fatores de nove. Lembre-se que todo número inteiro admite uma fatoração em números primos e se o número for primo, ele é decomposto por ele mesmo.

 Escrevendo , logo temos que:

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Agora temos bases igual, ou seja, se 9 elevado a (x-4)(x-2) é igual a 9 elevado a terceira, isso implica que:

E para resolver essa igualdade, usaremos as propriedades de produtos de números reais para eliminar os parênteses da primeira igualdade, assim:

Então, igualando a primeira parte com a segunda parte, temos:

Usaremos a fórmula da equação quadrática (conhecida como fórmula de Bháskara) para resolver:

Identificando os coeficientes, temos que:

Encontramos o discriminante:

Aplicando a fórmula para encontrar as duas soluções, temos:

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Ao resolver esse tipo de equação, você pode cair em graus diferentes de equações. Bastará usar ferramentas já aprendidas para a solução da equação. Encontramos dois possíveis resultados pois se trata de uma equação de segundo grau, se fosse uma equação de primeiro grau, encontraríamos apenas uma solução plausível.