Questões marota de cálculo!!!

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1)

No primeiro exercício, será calculado o valor médio da função \(f(x)=x^2\sqrt{x-3}\)  para \(7 \le x \le 12\). Para isso, será utilizada a fórmula de valor médio apresentada a seguir:

\(\Longrightarrow V_m={1 \over b-a} \int_a^bf(x) dx\)

As variáveis são: valor médio \(V_m\), ponto inicial \(a=7\), ponto final \(b=12\) e função \(f(x)\).

Para resolver a integral \(\int x^2 \sqrt{x-3} \space dx\), será utilizado o método da mudança de variável. Para isso, será criada uma nova variável \(u\), cuja expressão é:

\(\Longrightarrow u=\sqrt{x-3}=(x-3)^{1/2}\)  \((I)\)

A derivada de \(u\) em relação a \(x\) é:

\(\Longrightarrow {du \over dx}={d(x-3)^{1/2} \over dx}\)

\(\Longrightarrow {du \over dx}={1 \over 2}(x-3)^{(1/2)-1}\)

\( \Longrightarrow {du \over dx}={1 \over 2(x-3)^{1/2}}\)

\( \Longrightarrow {du \over dx}={1 \over 2u}\)

\( \Longrightarrow dx=2u\space du\)     \((II)\)

Além disso, a expressão de \(x\) em função de \(u\) é:

\(\Longrightarrow u=\sqrt{x-3}\)

\(\Longrightarrow x-3=u^2\)

\(\Longrightarrow x=u^2+3\)    \((III)\)

Observe que, se a equação \((III)\) for derivada em relação a \(u\), voltamos à equação \((II)\).

Substituindo as equações \((I)\), \((II)\) e \((III)\) na integral \(\int x^2 \sqrt{x-3} \space dx\), a integral resultante é:

\(\Longrightarrow \int \color{Blue}{x^2} \color{Red}{\sqrt{x-3}} \space \color{Green}{dx}\)

\(\Longrightarrow \int \color{Blue}{{(u^2+3)}^2} \color{Red}u \space \color{Green}{2u\space du}\)

\(\Longrightarrow \int {(u^4+6u^2+9)} \space 2u^2\space du\)

\(\Longrightarrow 2\int {(u^6+6u^4+9u^2)} \space du\)

\(\Longrightarrow 2 ({1\over7}u^7+{6\over5}u^5+{9\over3}u^3)\)

Substituindo a equação \(u=(x-3)^{1/2}\) \((I)\) na integral anterior, a integral resultante é:  

\(\Longrightarrow \int x^2 \sqrt{x-3} \space dx=2 [{1\over7}{(x-3)^{7/2}}+{6\over5}{(x-3)^{5/2}}+{9\over3}{(x-3)^{3/2}}]\)

Realizando a integração de 7 a 12, o valor encontrado é:

\(\Longrightarrow \int_7^{12} x^2 \sqrt{x-3} \space dx=2 [{1\over7}{(x-3)^{7/2}}+{6\over5}{(x-3)^{5/2}}+{9\over3}{(x-3)^{3/2}}]|_7^{12}\)

\(\Longrightarrow \int_7^{12} x^2 \sqrt{x-3} \space dx={42304\over35}\)

Retornando à equação de valor médio, o valor de \(V_m\) é:

\(\Longrightarrow V_m={1 \over 12-7} \int_7^{12}x^2\sqrt{x-3} \space dx\)

\(\Longrightarrow V_m={1 \over 5} {42304\over 35}\)

\(\Longrightarrow \fbox{$V_m={42304\over 175} \approx241,74$}\)

2)

No segundo exercício, será calculada a integral da função \(f(x)=|x-2|^3\) no intervalo \(-3 \le x \le 3\).

Como a função \(f(x)\) envolve módulo, é necessário encontrar os intervalos nos quais \(f(x)\) é maior e menor do que zero. As funções com módulo obedecem à seguinte regra:

\(\Longrightarrow f(x)=|x| \rightarrow f(x)=\left \{ \begin{matrix} -x, & x \le0 \\ x, & x \ge0 \end{matrix} \right.\)

Para \(f(x)=|x-2|^3\ge0\), a variável \(x\) deve ser maior do que 2. E para \(f(x)=|x-2|^3\le0\), a variável \(x\) deve ser menor do que 2. Portanto:

\(\Longrightarrow f(x)=|x-2|^3 \rightarrow f(x)=\left \{ \begin{matrix} -(x-2)^3, & x \le2 \\ (x-2)^3, & x \ge2 \end{matrix} \right.\)

Sendo assim, a integral do exercício fica da seguinte forma:

\(\Longrightarrow \int_{-3}^3 |x-2|^3= \int_{-3}^2 |x-2|^3+ \int_{2}^3 |x-2|^3\)

                           \(= \int_{-3}^2 -(x-2)^3+ \int_{2}^3 (x-2)^3\)

Portanto, o valor da integral definida é:

\(\Longrightarrow \int_{-3}^3 |x-2|^3= -\int_{-3}^2 (x-2)^3+ \int_{2}^3 (x-2)^3\)

                           \(=-\Big [{1\over4}(x-2)^4 \Big ]\Big|_{-3}^2+ \Big[{1\over4}(x-2)^4 \Big ]\Big|_{2}^3\)

                           \(=-\Big [{1\over4}(2-2)^4 - {1\over4}(-3-2)^4 \Big ]+ \Big[{1\over4}(3-2)^4 - {1\over4}(2-2)^4 \Big ]\)

                           \(=-\Big [- {1\over4}(-5)^4 \Big ]+ \Big[{1\over4}(1)^4 \Big ]\)

                           \(={1\over4}(-5)^4+ {1\over4}\)

                           \(=\fbox{$156,5$}\)