Determinar o vetor a de módulo 5, sabendo que é ortogonal ao eixo Oy e ao vetor v = i -2k, e forma ângulo obtuso com o vetor i.

Boa tarde,

Tentei resolver o exercício ... uma possivel solução está disponível no link: https://passeidireto.com/arquivo/3431792/resolucao---geometria-analitica 

Espero que esteja correto! Bons estudos!

/a/=5 
v=i-2k=(1,0,-2) 


inicialmente vamos considerar a=(x,y,z) 

Como o vetor "a" é ortogonal ao eixo Oy, então "a" é ortogonal ao vetor unitário na direção de Oy, ou seja, "a" é ortogonal a ℮2=(0,1,0). 

Portanto pelo produto escalar, devemos ter: 

a.℮2=0 

(x,y,z)(0,1,0)=0 

0+y+0=0 

y=0 


Mas como o vetor "a" é ortogonal ao vetor "v", devemos ter: 

v.a=0 

(1,0,-2)(x,y,z)=0 

x+0 -2z=0 

x=2z 

como o módulo de "a" vale 5: 

/a/=√(x²+y²+z²) 

5=√(x²+y²+z²) 

eleve os dois menbros ao quadrado! 

25=x²+y²+z² 

como y=0, e x=2z. 

25=(2z)²+0+z² 

25=4z²+z² 

25=5z² 

5z²=25 

z²=25/5 

z²=5 

z=√5 


voltando a expressão 25=x²+y²+z², com y=0 

25=x²+z² 

como x=2z 

logo 

z=x/2 

substitua z=x/2 em 25=x²+z² 

25=x²+(x/2)² 

25=x²+x²/4 

25=(4x²+x²)/4 

25=5x²/4 

5x²=5.25 

5x²=100 

x²=20 

x=√20 

x=2√5 

Pronto já temos todos os valores das coordenadas do vetor "a", que são: 

x=2√2 
y=0 
z=√5 

como "a" forma ângulo obtuso com i, onde i é vetor unitário do eixo Ox(1,0,0). 

logo as coordenadas do vetor "a" "trocam de sinal"( ao pé da letra!) 

portanto: 

x=-2√5 
y=0 
z=-√5 

finalmente : 

a=(-2√5,0,-√5) 
 

Me ajudou muito Luiz, obrigado!