Sabemos que \(P \) é um ponto da reta \(AB\) e como \(||\overrightarrow{PB}||=3||\overrightarrow{PA}||\), então:

Temos duas possibilidades \(\overrightarrow{PB}=3\overrightarrow{PA}\) ou \(\overrightarrow{PB}=-3\overrightarrow{PA}\).

Seja \(P=(x,y,z)\), logo:

\(\overrightarrow{PA}=(1-x,2-y,5-z)\) e \(\overrightarrow{PB}=(0-x,1-y,0-z)=(-x,1-y,-z)\)

Daí temos que:

\(3\overrightarrow{PA}=(3-3x,6-3y,15-3z)\) e como \(\overrightarrow{PB}=3\overrightarrow{PA}\) , então:

\(3-3x=-x\), \(6-3y=1-y\) e \(15-3z=-z\)

Daí obtemos que \(x=\frac{2}{3}\), \(y=\frac{5}{2}\) e \(z=\frac{15}{2}\)

Também podemos quer \(-3\overrightarrow{PA}=(-3+3x,-6+3y,-15+3z)\) e como \(\overrightarrow{PB}=-3\overrightarrow{PA}\) , então:

\(-3+3x=-x\), \(-6+3y=1-y\) e \(-15+3z=-z\)

Daí obtemos que \(x=\frac{3}{4}\), \(y=\frac{7}{4}\) e \(x=\frac{15}{4}\)