Sendo V = {(1, 1, 1), (1, 2, 3), (1, 4, 7), (-1, 0, 1)}, encontre uma base e determine a dimensão do subespaço W gerado por esses vetores.

cara, eu não sei

Devemos analisar a solução para as constantes a seguir:

\(a(1, 1, 1) + b(1, 2, 3) + c(1, 4, 7) + d(-1, 0, 1) = (0, 0, 0)\)

Que nos dá o seguinte sistema:

\(\begin{cases} d = a + b + c \\ a + 2b + 4c = 0 \\ d = -a -3b - 7c \end{cases}\)

O sistema não é SPD. Da forma como foi escrito, podemos escrever \(d\) e \(c\) mais facilmente em função de \(a\) e \(b\):

\(c = -\frac{a}{4} - \frac{b}{2}, \ d = \frac{3a}{4} + \frac{b}{2}\)

Ou seja, temos uma base \(\boxed{\{(1,1,1), (1,2,3) \}}\) com dimensão \(\boxed{2}\).