Interseção subespaço vetorial?

Para este exercício, é necessário primeiro obter o subespaço \(U \cap V\), utilizando os conceitos de Espaço Vetorial e Subespaço Vetorial Gerado, para podermos determinar um conjunto de geradores. 

Por hipótese, \(U\) e \(V\) são subespaços vetoriais gerados de \({\mathbb{R}^3}\), então podemos escrever todo vetor de \(U\) e todo vetor de \(V\) como combinação linear de seus geradores, veja:

\(u =a (1,0,0) + b(1,1,1)\textrm{ }\forall u \in U,\forall a ,b \in \mathbb{R}\) e
\(v = c (0,1,0) +d (0,0,1)\textrm{ }\forall v \in V,\forall c, d \in \mathbb{R}\).

Agora, vamos considerar um elemento qualquer \(w \in U \cap V\). Em particular, \(w \in U\). Então \(w=a (1,0,0) + b(1,1,1)\). Mas veja também que \(w \in V\), logo \(w = c (0,1,0) +d (0,0,1)\). Portanto:

\(\begin{align} w&=a (1,0,0) + b(1,1,1) = c (0,1,0) +d (0,0,1)\\ &=(a,0,0) + (b,b,b) = (0,c,0) +(0,0,d)\textrm{ }(*) \end{align}\)

Agora, esta última equação pode ser arranjada no seguinte sistema:

\(\left\{ {\begin{array}{lllllllllllllll} {a + b}&{ = 0} \\ b&{ = c} \\ b&{ = d} \end{array}} \right. \Rightarrow b = c = d = - a.\)

Obtemos que \(c=d\). Então, pelo lado esquerdo da igualdade \((*)\), é verdade que \(w = (0,c,0) +(0,0,c) = (0,c,c)\). Veja, portanto, que  \(U \cap V = \{ (0,c,c)\textrm{ } |\textrm{ }c \in \mathbb{R}\} \). Obtido o subespaço \(U \cap V\), fica fácil determinar um conjunto de geradores para ele. Veja:

\(\begin{align} U \cap V &= \{ (0,c,c)\textrm{ } |\textrm{ }c \in \mathbb{R}\} \\ &=\{ c(0,1,1)\textrm{ } |\textrm{ }c \in \mathbb{R}\}\\ &=[(0,1,1)]. \end{align}\)

Isto é, \(U \cap V\) é gerado por \(\{(0,1,1)\}\).

Desta forma, vemos que um conjunto de geradores de \(U \cap V\) é o conjunto \(\boxed{{{ \{ (0,1,1) \} }}}\) .