Uma fábrica de latas recebeu uma encomenda de latas cilíndricas cujos volumes devem ser iguais a 500 cm3.

8,6x4,3

Seja \(h\) a altura da lata e \(r\) o seu raio. Precisamos garantir que o volume da lata seja 500 (estamos considerando todas as unidades em cm), isso relaciona o raio e a altura pela fórmula \(\pi r^2 h=500\) isso permite que escrevamos \(h=\frac {500}{\pi r^2}\)

O total de máterial utilizado, está associado com a área superficial total, a área do lateral do cilíndor mais a área das duas tampas circulartes. Definimos então a função que nos dá o total de material utilizado na fabricação da lata:

                                                                       \(S=2 \pi r h +2 \pi r^2\)  

substituindo o valor de \(h\) em função de \(r\) temos uma função que depende somente de \(r\)

                                                                       \(S= \frac{1000}{r} + 2 \pi r^2\)

Nosso objetivo então, é minimizar a função \(S\). Tomando a primeira derivada, temos que:

                                                                      \(\frac{dS}{dr} = - \frac{1000}{r^2} + 4 \pi r\)

Para que a derivada seja zero (ponto crítico) precisamos que \(r= \sqrt[3]{\frac{250}{\pi}}=4,3\). Substituindo esse valor para \(r\) na formula que do volume, obtemos \(h\), temos que \(h=8,6\). Os resultados obtidos nos permitem concluir que a primeira alternativa é a correta.