A área no primeiro quadrante da região delimitada pelas curvas y=4 e y=x2 é

Primeiro vamos limitar a região. Estamos no primeiro quadrante, limitados pela curva dada, isto é:

\(x>0\\ x^2<y<4\)

Falta encontrarmos o limite superior de \(x\), que é dado pela intersecção das duas curvas:

\(\begin{align} x^2=4\Rightarrow x=2 \end{align}\)

Reescrevendo os limites, temos:

\(0<x<2\\ x^2<y<4\)

Escrevendo as integrais correspondentes, temos:

\(A = \int_0^2\int_{x^2}^4dydx\)

Agora basta resolvê-la:

\(\begin{align} A &= \int_0^2\int_{x^2}^4dydx\\ &= \int_0^2\left[y\right]_{x^2}^4dx\\ &= \int_0^2\left[4-x^2\right]dx\\ &= \left[4x-{x^3\over3}\right]_0^2\\ &= 4\cdot2-{2^3\over3}\\ &= 8-{8\over3}\\ \end{align}\)

Temos, portanto, a área pedida:

\(\boxed{A={16\over3}}\)

x=1