dy/dx = v+dv/dx
y=x.v
v+x.dv/dx = xv+x/x
v+x.dv/dx= v+1
x.dv/dx=1
x.dv=dx
| dv = | dx/x
v = ln x+c
y/x = lnx+c
y= xlnx+xc
Vamos reescrever a equação diferencial da seguinte forma:
\({dy\over dx} - {1\over x}y =1\)
Multiplicando pelo fator integrante \(\mu(x)\), temos:
\(\mu{dy\over dx} - \mu{1\over x}y =\mu\)
Mas temos a derivada do produto do fator integrante pela solução:
\({d\over dx}(\mu y)=\mu{dy\over dx}+y{d\mu\over dx}\)
Fazendo analogia com a expressão anterior, vamos impor:
\(y{d\mu\over dx}=-\mu{1\over x}y\Rightarrow {d\mu\over dx}=-\mu{1\over x}\)
Separando as variáveis, temos:
\({d\mu\over \mu}=-{dx\over x}\)
Integrando, temos:
\(\int{d\mu\over \mu}=-\int{dx\over x}\Rightarrow \ln\mu=-\ln x\Rightarrow \mu={1\over x}\)
Substituindo na equação original, temos:
\({1\over x}{dy\over dx} - {1\over x^2}y ={1\over x}\)
Como impusemos ao fator integrante, o lado esquerdo da igualdade é a derivada do produto do fator integrante pela solução:
\({d\over dx} \left({1\over x} y\right)={1\over x}\)
integrando em relação a x, temos:
\(\int{d\over dx} \left({y\over x}\right)\ dx=\int {1\over x}\ dx\Rightarrow {y\over x}=\ln x+C\)
Temos, finalmente:
\(\boxed{y(x)=Cx+x\ln x}\)
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